Pour chacune des trois fonctions, on remplace y par la fonction dans le premier membre est on calcule, ainsi :
- Pour f on doit calculer f″(x)+9f(x)
or on sait que f′(x)=2x+1 et f″(x)=2
donc f″(x)+9f(x)=2+9(x2+1)=9x2+11≠0
d'où f n'est pas une solution de l'équation différentielle car f″(x)+9f(x)≠0.
- Pour g on doit calculer g″(x)+9g(x)
or on sait que g′(x)=−3sin(3x) et f″(x)=−9cos(3x)
donc g″(x)+9g(x)=−9cos(3x)+9cos(3x)=0
d'où g est une solution de l'équation différentielle car g″(x)+9g(x)=0.
- Pour h on doit calculer h″(x)+9h(x)
or on sait que h′(x)=3×5cos(3x)=15cos(3x) et h″(x)=−3×15sin(3x)=−45sin(3x)
donc h″(x)+9h(x)=−45sin(3x)+9×5sin(3x)=−45sin(3x)+45sin(3x)=0
d'où h est une solution de l'équation différentielle car h″(x)+9h(x)=0.