Démonstration :
Un système est stable si pour une entrée constante, la sortie tend vers une constante. (ou s’il retourne vers son état d’équilibre s’il en est écarté)
Condition de stabilité : un système est stable si sa fonction de transfert \( F(p) = \frac{{N(p)}}{{D(p)}} \) ne comporte que des pôles (valeurs de p annulant \( D(p) \) ) à partie réelle strictement négative.
- Démonstration
Si on envoie dans un système de transmittance \( F(p) \) un Dirac \( E_0 \) afin d’étudier sa stabilité alors:
\( S(p) = {E_0}\frac{{{b_n}{p^m} + {b_{n - 1}}{p^{m - 1}} + ... + {b_1}p + {b_0}}}{{{a_n}{p^n} + {a_{n - 1}}{p^{n - 1}} + ... + {a_1}p + {a_0}}} = {E_0}\frac{{N(p)}}{{D(p)}} \)
Ce qui donne en factorisant par les n pôles (rééls ou complexes) (\( d_i \)) du dénominateur \( D(p) \)
\( S(p) = {E_0}\frac{{\left( {p - {c_m}} \right)\left( {p - {c_{m - 1}}} \right)...\left( {p - {c_1}} \right)\left( {p - {c_0}} \right)}}{{\left( {p - {d_m}} \right)\left( {p - {d_{m - 1}}} \right)...\left( {p - {d_1}} \right)\left( {p - {d_0}} \right)}} = {E_0}\left( {\frac{{{A_0}}}{{p - {d_0}}} + \frac{{{A_1}}}{{p - {d_1}}} + ... + \frac{{{A_m}}}{{p - {d_m}}}} \right) \)
Dont il est facile de trouver l’originale qui constitue donc la réponse temporelle dont la forme dépend de la nature des pôles \( d_i \)
- Si \( d_i \) est réel alors l’originale est \( {A_i}{e^{{d_i}t}} \)
- Si \( d_i \) est complexe alors \( d_i=a+j\omega \) et \( d_i*=a-j\omega \) mènent à une originale de la forme \( A{e^{at}}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) \)
On s’aperçoit que ces fonctions du temps tendent vers 0 si l’exponentielle tend vers 0 donc si la partie réelle du pôle est négative.
Rq : ceci revient à l’étude du régime transitoire de L’ESSM de \( S(p) \times \left( {{a_n}{p^n} + {a_{n - 1}}{p^{n - 1}} + ... + {a_1}p + {a_0}} \right) = 0 \) qui disparaît au cours du temps si le système est stable.
