Pour chacune des trois fonctions, on remplace \( y \) par la fonction dans le premier membre est on calcule, ainsi :
- Pour \( f \) on doit calculer \( f''(x)+9f(x) \)
or on sait que \( f'(x)=2x+1 \) et \( f''(x)=2 \)
donc \( f''(x)+9f(x)=2+9(x{^2}+1)=9x{^2}+11 \not= 0 \)
d'où \( f \) n'est pas une solution de l'équation différentielle car \( f''(x)+9f(x) \not= 0 \).
- Pour \( g \) on doit calculer \( g''(x)+9g(x) \)
or on sait que \( g'(x)=-3\sin(3x) \) et \( f''(x)=-9\cos(3x) \)
donc \( g''(x)+9g(x)=-9\cos(3x)+9\cos(3x)= 0 \)
d'où \( g \) est une solution de l'équation différentielle car \( g''(x)+9g(x)=0 \).
- Pour \( h \) on doit calculer \( h''(x)+9h(x) \)
or on sait que \( h'(x)=3\times5\cos(3x)=15\cos(3x) \) et \( h''(x)=-3\times15\sin(3x)=-45\sin(3x) \)
donc \( h''(x)+9h(x)=-45\sin(3x)+9\times5\sin(3x)=-45\sin(3x)+45\sin(3x)= 0 \)
d'où \( h \) est une solution de l'équation différentielle car \( h''(x)+9h(x)=0 \).
