Wiki du BTS Electrotechnique - SA - Modèle du second ordre

Lorsque la réponse présente un rebond, le modèle du deuxième ordre peut être utilisé.

Equation différentielle du système est de la forme :

$\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + 2m{\omega _0}\frac{{dy}}{{dt}} + {\omega _0}^2y = g(t)$

qui fait apparaitre :

un gain statique k
une pulsation propre $\omega_0$
un coefficient d'amortissement $m$

Fonction de transfert isomorphe :

$H\left( p \right) = k\frac{1}{{1 + \frac{{2mp}}{{{\omega _0}}} + \frac{{{p^2}}}{{\omega _0^2}}}}$

Réponse indicielle :

$s(t) = k\left[ {1 - {e^{ - m{\omega _0}t}}\left( {\cos \omega t + \frac{{m{\omega _0}}}{\omega }\sin \omega t} \right)} \right]$ et ressemble donc à ceci

On peut déterminer:

la période des oscillations et donc la pulsation d'oscillation $\omega$ qui dans la réponse indicielle apparait liée à la pulsation propre du système $\omega_0$ par la relation ${\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{T\sqrt {1 - {m^2}} }}$ et $\omega = \frac{{2\pi }}{T}$
la décroissance de ces oscillations est décrite par la valeur des dépassements $D_1$ , $D_2$ et ainsi de suite exprimés en pourcentage de la valeur finale.

D'après l'analyse de la réponse indicielle il s'avère que les dépassements dont tels que $\frac{{{D_2}}}{{{D_1}}} = {e^{ - \frac{{2m\pi }}{{\sqrt {1 - {m^2}} }}}}$

le temps tr5% au bout duquel la réponse est comprise entre 95% et 105% de sa valeur stabilisée:
- On notera que le $tr$ est mini si $m=0,7$ : ${t_{r5\% \min }} = 0,44\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}$
- Si $m << 1$ alors $\frac{{{t_{r5\% \min }}}}{{\frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}}}} = \frac{3}{{2\pi m}} \Rightarrow {t_{r5\% \min }} = \frac{3}{{m{\omega _0}}}$

Connaissant la courbe de la réponse, la détermination de $t_{r5\%}$ et de la pseudo pulsation $\omega$ sont aisées à déterminer. Pour caractériser mathématiquement le système il faut réussir à déterminer le coefficient d'amortissement.

Pour cela une abaque est utilisée:

Pour connaitre l'amplitude et le nombre de dépassements, l'abaque suivante sera utilisée:

Les graphiques suivants montrent l'influence du coefficient d'amortissement.

Diagramme de Bode

Diagramme de Nyquist

Diagramme de Black