Les vecteurs

Caractérisation d’un vecteur :

Soient A et B deux points du plan.

Définition :

On note \( \overrightarrow{AB} \) et on appelle vecteur (AB), le déplacement ("le chemin") que l’on doit effectuer pour aller de A vers B.

Graphiquement le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est représenté par une flèche allant de A vers B.

Le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est caractérisé par :

1. sa direction : celle de la droite (AB).
2. son sens : de A vers B.
3. sa norme : la longueur AB.

Notation : On note \( \vec u \) le vecteur dont un représentant est \( \overrightarrow{AB} \)

Exemple : \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont deux représentants d’un même vecteur \( \vec u \)

Cas particuliers :

1. On note \( \vec 0 \) le vecteur dont un représentant est \( \overrightarrow{AA} \) (déplacement dont le point de départ et d’arrivé sont les mêmes).
2. On note \( -\vec u \) le vecteur ayant même direction et même norme que \( \vec u \) mais de sens opposé.

Coordonnées d’un vecteur

On dit que le vecteur \( \vec u \) pour coordonnées \( (a;b) \) dans le repère \( (O; \vec i ; \vec j) \) si : \( \vec u=a \vec i+ b \vec j \)

Exemple : \( \vec u \) a pour coordonnées (2;3) donc \( \vec u=2 \vec i+ 3 \vec j \)

Soient \( A(x_A;y_A ) \) et \( B(x_B;y_B ) \) deux points du plan.

Le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) a pour coordonnées \( (x_B-x_A;y_B-y_A ) \)

Les vecteurs à deux dimensions : introduction (http://www.clipedia.be)

https://www.youtube.com/watch?v=ivIUeG1_Joc

Propriétés :

1. Coordonnées du milieu d’un segment

Soient \( A (x_A;y_A) \) et \( B (x_B;y_B) \) deux points du plan I milieu de \( \left[ AB \right] \), a pour coordonnées \( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}} \\ {{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \\ \end{array} } \)

1. Distance – Norme d’un vecteur

Dans un repère orthonormé,

• Si \( \vec u \) a pour coordonnées (a;b), on a : \( \left\| {\vec u} \right\| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
• Si \( A(x_A;y_A ) \) et \( B(x_B;y_B ) \) sont deux points du plan, on a : \( AB=\left\| {\overrightarrow{AB}} \right\| =\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2} \)

La norme d'un vecteur

https://www.youtube.com/watch?v=B28Pyg4rWDY

Somme de vecteurs

Si, dans le repère \( (O; \vec i ; \vec j) \), un vecteur \( \vec w \) est la somme de deux vecteurs

• \( \vec u=a \vec i+ b \vec j \)
• et \( \vec v=c \vec i+ d \vec j \)

alors \( \vec w = (a+c) \vec i+ (b+d) \vec j\)

Les vecteurs en physique

• les forces sont représentées par des vecteurs
• le champ de gravitation
• Le champ électrique et le champ magnétique sont représentés par des vecteurs
• les vecteurs de Fresnel

S'entrainer

Source: ECligne