Vecteurs de Fresnel associé à une grandeur sinusoïdale
Un vecteur de Fresnel est la représentation vectorielle d'une grandeur sinusoïdale:
- la longueur du vecteur est égale à la valeur efficace de la grandeur sinusoïdale
- l'angle du vecteur par rapport à l'horizontale est donnée par la phase à l'origine de la grandeur sinusoïdale
On note le vecteur de Fresnel par \( \vec{U}= [ U ; \varphi ] \)
Par exemple si: \( u(t)= 230 \sqrt{2}sin \left( 314 \times t + \frac{\pi}{2} \right) \)
alors \( \vec{U}= \left[ 230 ; \frac{\pi}{2} \right] \)
Soit une grandeur sinusoïdale \( g(t)=G\sqrt{2}sin(\omega t+\varphi) \).
Cette grandeur peut-être représentée à chaque instant par un vecteur \( \vec{G} \) appelé vecteur de Fresnel associé à la grandeur sinusoïdale g(t).
Les coordonnées polaires de ce vecteur sont :
- \( \left\| {\vec G} \right\|= G \) , la valeur efficace de g(t)
- \( Argument de \vec{G} = \omega t + \varphi\) , la phase de g(t).
On choisit un axe d'origine des phases et on représente le vecteur à une date t
Au cours du temps, le vecteur de Fresnel représentant la grandeur sinusoïdale tourne. Il réalise un tour complet ( la phase varie de \( 2 \times \pi \)) en une période donc pendant la durée T.
On représente souvent le vecteur de Fresnel associé à la tension u(t) à la date t=0.
Voyage en électricité Ep 24 - Fresnel, suivez les flèches (6'23")
- mesures de tensions en sinusoïdal dont les valeurs algébriques ne s'additionnent pas
- En série intensité commune à R,L,C donc sert d'origine des phases
- vecteurs de Fresnel des tensions
- résistance, réactance, impédances des dipôles simples
Chapitre 2 2 Le monophasé Comment déterminer les vecteurs de Fresnel (Ismail SADKY) (2'08)
Somme de vecteurs de Fresnel: Loi des nœuds et des mailles avec Fresnel
La somme de deux grandeurs sinusoïdales en ne se servant que des équations mathématiques ou des représentations graphiques est longue et complexe:
Somme de sinusoïdes
L'intérêt de la représentation de Fresnel est de permettre facilement la somme de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation.
En électricité, cette représentation permettra facilement de trouver :
- une tension par le biais d'une loi des mailles
- ou d'un courant par le biais d'une loi des nœuds.
Méthode: Pour trouver le vecteur somme de deux autres.
- s'assurer que les grandeurs de chaque vecteur sont connues: longueur et angle par rapport à la même référence.
- se munir de son rapporteur et de sa règle graduée
- choisir une échelle de représentation
- tracer le premier vecteur de sa bonne longueur et avec son angle par rapport à l'horizontale.
- tracer le second vecteur à la suite du premier et avec son angle par rapport à l'horizontale.
- continuer pour les autres vecteurs
- Mesurer la longueur du point de départ du premier vecteur à l'arrivée du dernier
- Mesurer l'angle du vecteur par rapport final par rapport à la verticale
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| \( {\vec I_3} = {\vec I_1} + {\vec I_2} \) | \( \vec U = {\vec U_1} + {\vec U_2} \) |
Soient les courants suivants:
- \( i_1(t)=4\sqrt{2}sin(100 \pi t+ \pi /6) \)
- et \( i_2(t)=6\sqrt{2}sin(100 \pi t+ \pi /3) \)
Si \( i_3(t)= i_2(t)+i_1(t)\), que vaut alors \( i_3(t) \)?
- On procède alors au dessin des deux vecteurs de Fresnel avec une échelle judicieusement choisie.
- \( \vec{I_1} \) de longueur \( 4 \) et d'angle \( \frac{\pi}{6} \)
- \( \vec{I_2} \) de longueur \( 6 \) et d'angle \( \frac{\pi}{3} \)
- on fait la somme vectorielle des deux vecteurs (mettre le vecteur \( \vec{I_2} \) au bout de \( \vec{I_1} \) et relier les extrémités pour construire \( \vec{I_3} \)
- la mesure de la longueur permet de déterminer la valeur efficace : 9.67 A
- la mesure de l'angle permet de déterminer la phase à l'origine: environ 48° soit 0.84 radians
Les caractéristiques de \( \vec{I_3} \) sont \( \vec{I_3} = \left[ 9.67;0.84 \right] \)
On en déduit l'expression de \( i_3(t)=9,67 \sqrt{2} sin(100 \pi t+ 0.84) \)
Remarque: On peut déterminer par le calcul la longueur et l'angle de \( \vec{I}_3 \) en décomposant \( \vec{I}_3 \) suivant x et y:
- suivant x : \( I_{3x} = I_1 cos \varphi_1 + I_2 cos \varphi_2 = 4 cos \frac{\pi}{6} + 6 cos \frac{\pi}{3} \)
- suivant y : \( I_{3x} = I_1 sin \varphi_1 + I_2 sin \varphi_2 = 4 sin \frac{\pi}{6} + 6 sin \frac{\pi}{3} \)
Les deux grandeurs de ce triangle rectangle permettent de trouver
- la longueur de l’hypoténuse: \( I_3 = \sqrt{ I_{3x}^2 + I_{3y}^2 } \) et donc la valeur efficace de \( I_3 \)
- l'angle de ce vecteur \( \varphi_3 = arctan \frac{ I_{3y}}{ I_{3x}} \) et donc la phase à l'origine
- le vecteur de Fresnel ne traduit pas la vitesse de rotation du vecteur. Il faut donc s'assurer si l'on veut ajouter deux vecteurs qu'ils tournent à la même vitesse donc même fréquence.
- Cette somme vectorielle montre de façon évidente que la somme de deux grandeurs sinusoïdales ne donnera un résultat dont la longueur est égal à la somme de chacune des longueurs que si les deux vecteurs sont alignés. Dans tous les autres cas la somme sera inférieure à cette valeur si \( {\vec I_3} = {\vec I_1} + {\vec I_2} \) alors \( {I_3} \ne {I_1} + {I_2} \).
Auto-évaluation
Auto-évaluation du Lycée Charles Augustin Coulomb:
- Somme de fonctions sinusoïdales de même fréquence : première approche
- Fonctions sinusoïdales : représentation de Fresnel
- Applets sur la somme de deux fonctions sinusoidales:
Nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale
Comme la représentation de Fresnel n'offre qu'une représentation graphique permettant de faire la somme de 2 grandeurs sinusoïdale, l'usage des complexes pour la représentation de ces grandeurs sinusoïdales permet d'accéder à plus de précision et des calculs plus poussés (multiplication division) sur les grandeurs sinusoïdales.
Les complexes font peur mais ne sont pas fondamentalement compliqués.
Leur appellation fait peur alors qu'elle traduit juste le fait que ce nombre dit complexe donne plus de renseignements sur une grandeur. A l'instar des vecteurs de Fresnel, les nombres complexes donnent une information de longueur et d'angle d'une grandeur.
Grandeurs complexes associées à une grandeur sinusoïdale
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Le nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale \( u(t) = U \sqrt{2} sin(\omega t + \varphi) \) est donc un vecteur définit mathématiquement par
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- lois des mailles en complexe
