Nécessité d'une puissance réactive
La puissance active correspond à une puissance utilisée par un dipôle et qui est convertie en une autre forme d'énergie (en chaleur ou énergie mécanique le plus souvent).
La puissance apparente définit une grandeur \( U \times I \) correspondant à un dimensionnement est une prise en compte du courant alimentant un dipôle.
Si on fait le bilan pour les dipôles simples, on s'aperçoit rapidement que :
- pour la résistance la puissance active est égale à la puissance apparente \( P=S \)
- pour le condensateur la puissance active est nulle\( P=0 \) mais il existe quand même une puissance apparente. Le condensateur consomme effectivement un courant tel que \( I_C=\frac{V}{Z}={C \omega V} \) et le déphasage de V par rapport à I est dans ce cas \( \varphi_{V/I}=-\pi/2 \), la puissance apparente provient donc exclusivement d'un courant en quadrature avance par rapport à la tension.
- pour la bobine la puissance active est nulle \( P=0 \) mais il existe quand même une puissance apparente. La bobine consomme effectivement un courant tel que \( I_L=\frac{V}{Z}=\frac{V}{L \omega} \) et le déphasage de V par rapport à I est dans ce cas \( \varphi_{V/I}=+\pi/2 \), la puissance apparente provient donc exclusivement d'un courant en quadrature retard par rapport à la tension.
Il apparait donc judicieux de qualifier cette puissance due aux courants en quadrature avec la tension. L'intuition nous pousse donc à multiplier \( sin \varphi \) par \( U \times I \) pour qualifier cette nouvelle puissance. Effectivement pour une résistance elle serait nulle et maximale pour une bobine ou un condensateur.
la puissance réactive est donc définie par \( Q = VI sin \varphi \)
Dans le cas d'un dipôle plus quelconque, le déphasage \( \varphi_{V/I} \) prend une valeur comprise entre \( -\pi/2 \) et \( +\pi/2 \), on peut donc décomposer le courant en deux grandeurs
- \( I_{actif}=I \times cos \varphi \)
- \( I_{réactif}=I \times sin \varphi \)
Il en découle que \( I_{actif}^2 + I_{réactif}^2 + = I^2 \)
Si on multiplie chacune de ces grandeurs par \( V^2 \) on obtient
\( V^2 \times I_{actif}^2 + V^2 \times I_{réactif}^2 = V^2 \times I^2 \)
Soit
\( (VI cos \varphi)^2 + (VI sin \varphi)^2 = (VI)^2 \)
Où chaque terme est respectivement égal à
\( P^2 + Q^2 = S^2 \)
Nature de la puissance réactive
L'énergie réactive est de l'énergie qui oscille entre le consommateur et le fournisseur d'énergie, ce qui transparait dans la détermination de la puissance active. On l'appelle parfois puissance fluctuante. Elle est proportionnelle à la moyenne de l'énergie stockée dans les champs magnétiques et électriques générés.
Définition
Par définition la puissance réactive notée Q est :
| \( Q = VI sin \varphi \) |
- Q puissance réactive exprimée en VAr ( Volt Ampère réactifs).
- V tension du dipôle en Volts
- I courant traversant le dipôle en Ampères
Remarque: Avec la convention récepteur :
- \(Q<0 \Rightarrow sin \varphi<0 \Rightarrow \varphi \in [-\pi/2;0] \) cas des dipôles capacitifs
- \(Q>0 \Rightarrow sin \varphi>0 \Rightarrow \varphi \in [0;+\pi/2] \) cas des dipôles inductifs
Dipôles élémentaires
Pour une résistance parfaite
Nous savons que \( \underline{Z}_R = [ R ; 0 ] \) soit
- \( \frac{V}{I} = R \) et
- \( \varphi_{v/i}= 0 \) donc \( cos \varphi_{v/i}= 1 \) et \( sin \varphi_{v/i}= 0 \)
On en déduit que
| \( P_R= V \times I = \frac{V^2}{R} = R I^2 \) |
| \( Q_R= 0 \) |
Un résistor parfait n'absorbe ou consomme que de la puissance active.
Pour un condensateur parfait
Nous savons que \( \underline{Z}_C = \left[ \frac{1}{C\omega} ; -\frac{\pi}{2} \right] \) soit
- \( \frac{V}{I} = \frac{1}{C\omega} \) et
- \( \varphi_{v/i}= -\frac{\pi}{2} \) donc \( cos \varphi_{v/i}= 0 \) et \( sin \varphi_{v/i}= -1 \)
On en déduit que
| \( P_C= 0 \) |
| \( Q_C= -VI = -C \omega U^2 = -\frac{I^2}{C \omega} \) |
Un condensateur parfait n'absorbe pas de puissance active mais fournit de la puissance réactive
Pour une bobine parfaite
Nous savons que \( \underline{Z}_L = \left[ L \omega ; +\frac{\pi}{2} \right] \) soit
- \( \frac{V}{I} = L\omega \) et
- \( \varphi_{v/i}= +\frac{\pi}{2} \) donc \( cos \varphi_{v/i}= 0 \) et \( sin \varphi_{v/i}= +1 \)
On en déduit que
| \( P_L= 0 \) |
| \( Q_L= +VI = L \omega I^2 = +\frac{V^2}{L \omega} \) |
Une bobine parfaite n'absorbe pas de puissance active mais absorbe de la puissance réactive
Récapitulatif
| Dipôle | Résistance | Bobine | Condensateur |
| Schéma | 
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| Loi d'Ohm généralisée | \( u_R = R \times i \) | \( u_L = L \times \frac{{di}} {{dt}} \) | \( i = C \times \frac{{du_C}} {{dt}}\) |
| Association série | \(R_{eq} = \sum\limits_{i = 1}^n {R_i }\) | \( L_{eq} = \sum\limits_{i = 1}^n {L_i } \) | \(\frac{1}{{C_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{C_i }}}\) |
| Association parallèle | \(\frac{1}{{R_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{R_i }}}\) | \(\frac{1}{{L_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{L_i }}}\) | \(C_{eq} = \sum_{i = 1}^n {C_i }\) |
| Impédance en sinusoïdal | \( \underline{Z}=R=\left[{R;0}\right] \) | \( \underline{Z}_L = jL\omega = \left[ {L\omega ;\frac{\pi }{2}} \right] \) | \( \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = \left[ {\frac{{1}} {{jC\omega}} ; -\frac{\pi }{2}} \right] \) |
| Puissance active \( P \) en sinusoïdal | \(P = R \times I^2 = \frac{U^2}{R}\) | \(P = 0\) | \(P = 0\) |
| Puissance réactive \( Q \) en sinusoïdal | \(Q = 0 \) | \(Q = L \omega \times I^2 = \frac{U^2}{L \omega}\) | \(Q = C \omega \times U^2 = \frac{I^2}{C \omega}\) |
| Modèle plus réaliste | 
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Puissance réactive en triphasé
En triphasé, Boucherot nous dit que les puissances consommées sur chaque phase s'additionnent donc
| \( Q = 3 V I sin \varphi= \sqrt{3} U I sin \varphi \) |
Puissance réactive en régime périodique non-sinusoïdal
Si l’une des grandeurs (tension ou intensité) est sinusoïdale alors la puissance réactive n’est due qu’à la fréquence fondamentale (à la fréquence f) du courant ou de la tension:
| \(Q = V{I_1}\sin \varphi_1 \) |
