La résistance en sinusoïdal

Valeurs instantanées:
Soient \( i(t) = I \sqrt{2} sin (\omega t + \varphi_i) \)
et \( u(t) = U \sqrt{2} sin (\omega t + \varphi_u) \)
la loi d'Ohm impose que \( u(t) = R i(t)\)
Donc \( u(t) = RI \sqrt{2} sin (\omega t + \varphi_i) \)
Les valeurs efficace de chacun des signaux doivent être égales donc \( \Rightarrow U = R I \)
Les phases à l'origine aussi donc \( \varphi_u = \varphi_i \)
Construction de Fresnel:

courant et tension sont en phase

Impédance complexe:
\( \left| {\underline {{Z_R}} } \right| = \frac{{\left| {\underline U } \right|}}{{\left| {\underline I } \right|}} = \frac{{RI}}{I} = R \)
et \( \varphi_Z = 0 \)
soit
\( \underline{Z}_R = R \)
\( \underline{U} = R \times \underline{I} \)
Puissance active:
\( P_R = R \times I^2 = \frac{U^2}{R} \)
Puissance réactive:
\( Q_R = 0 \)

La bobine en sinusoïdal

Valeurs instantanées:

Si le courant parcourant une bobine est sinusoïdal: \( i(t) = I\sqrt 2 \sin (\omega t) \)

Comme la tension dans la bobine résulte du calcul de \(u = L\frac{di}{dt}\),

Comme la dérivée de \( \sin (\omega t) \) est \( \omega \cos (\omega t) \). Et comme \( \cos (x) = \sin (x+\pi/2) \)

Alors \(u(t) = L\omega I\sqrt 2 \cos (\omega t) = L\omega I\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

La tension est donc déphasée de \( \varphi_{U/I}= \frac{\pi}{2} \) par rapport au courant.

La valeur efficace de la tension est telle que \(U= L\omega I\ \).

Cet ensemble de constatation peut être résumé par la notation complexe qui lie les valeur efficace et le déphasage des grandeur u(t) et i(t): \( \underline{U} = j L \omega \underline{I} \)

Construction de Fresnel:
La tension est en quadrature avance sur le courant
Impédance complexe:
\( \left| {\underline {{Z_L}} } \right| = \frac{{\left| {\underline U } \right|}}{{\left| {\underline I } \right|}} = \frac{{L\omega I}}{I} = L\omega \)
et \( \varphi_Z = \varphi_u - \varphi_i = + \pi /2 \)
soit
\( \underline{Z}_L = j L \omega = [L\omega ; \frac{\pi}{2}]\)
\( \underline{U} = j L \omega \times \underline{I} \)
Puissance active:
\( P_L = 0 \)
Puissance réactive:
\( Q_L = L\omega \times I^2 = \frac{U^2}{L\omega} \)
  • Le rapport \( \frac{U}{I} \) ou impédance \( Z \) de la bobine est égale à \( L \omega \) et augmente avec \( \omega \) donc avec la fréquence
  • une bobine se comporte donc comme un circuit ouvert à haute fréquence
  • une bobine se comporte donc comme un circuit fermé en continu
  • le fait de multiplier par j traduit l'avance de phase de \( \pi/2 \) du courant sur la tension donc \( \varphi_{U/I} = +\frac{\pi}{2} \)

Le condensateur en sinusoïdal

Valeurs instantanées:

Si la tension alimentant un condensateur est sinusoïdal: \( u(t) = U\sqrt 2 \sin (\omega t) \)

Comme le courant dans le condensateur résulte du calcul de \(i = C\frac{du}{dt}\),

Comme la dérivée de \( \sin (\omega t) \) est \( \omega \cos (\omega t) \). Et comme \( \cos (x) = \sin (x+\pi/2) \)

Alors \(i(t) = C\omega U\sqrt 2 \cos (\omega t) = C\omega U\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Le déphasage du courant par rapport à la tension est donc \( \varphi_{I/U}= \frac{\pi}{2} \) donc la tension est déphasée de \( \varphi_{U/I}= - \frac{\pi}{2} \) par rapport au courant.

La valeur efficace du courant est telle que \(I= C\omega U \).

Cet ensemble de constatations peut être résumé par la notation complexe qui lie les valeur efficace et le déphasage des grandeur u(t) et i(t): \( \underline{I} = j C \omega \times \underline{U} \)

Construction de Fresnel:
Le courant est en quadrature avance sur la tension
Impédance complexe:
\( \left| {\underline {{Z_C}} } \right| = \frac{{\left| {\underline U } \right|}}{{\left| {\underline I } \right|}} = \frac{U}{{UC\omega }} = \frac{1}{{C\omega }} \)
et \( \varphi_Z = \varphi_u - \varphi_i = - \pi /2 \)
soit
\( \underline{Z}_C = \frac{1}{j C \omega} = [\frac{1}{C\omega} ; -\frac{\pi}{2}]\)
\( \underline{I} = j C \omega \times \underline{U} \)
Puissance active:
\( P_C = 0 \)
Puissance réactive:
\( Q_C = - C\omega \times U^2 = - \frac{I^2}{C\omega} \)
  • Le rapport \( \frac{U}{I} \) ou impédance \( Z \) du condensateur est égal à \( \frac{1}{C \omega} \) et diminue avec \( \omega \) donc avec la fréquence
  • un condensateur se comporte donc comme un circuit fermé à haute fréquence
  • un condensateur se comporte donc comme un circuit ouvert en continu
  • le fait de multiplier par j traduit l'avance de phase de \( \pi/2 \) de la tension sur le courant donc \( \varphi_{U/I} = -\frac{\pi}{2} \)

Récapitulatif

Dipôle Résistance Bobine Condensateur
Schéma
Loi d'Ohm généralisée \( u_R = R \times i \) \( u_L = L \times \frac{{di}} {{dt}} \) \( i = C \times \frac{{du_C}} {{dt}}\)
Association série \(R_{eq} = \sum\limits_{i = 1}^n {R_i }\) \( L_{eq} = \sum\limits_{i = 1}^n {L_i } \) \(\frac{1}{{C_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{C_i }}}\)
Association parallèle \(\frac{1}{{R_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{R_i }}}\) \(\frac{1}{{L_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{L_i }}}\) \(C_{eq} = \sum_{i = 1}^n {C_i }\)
Impédance en sinusoïdal \( \underline{Z}=R=\left[{R;0}\right] \) \( \underline{Z}_L = jL\omega = \left[ {L\omega ;\frac{\pi }{2}} \right] \) \( \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = \left[ {\frac{{1}} {{jC\omega}} ; -\frac{\pi }{2}} \right] \)
Puissance active \( P \) en sinusoïdal \(P = R \times I^2 = \frac{U^2}{R}\) \(P = 0\) \(P = 0\)
Puissance réactive \( Q \) en sinusoïdal \(Q = 0 \) \(Q = L \omega \times I^2 = \frac{U^2}{L \omega}\) \(Q = C \omega \times U^2 = \frac{I^2}{C \omega}\)
Modèle plus réaliste

Auto évaluation

QCM sur les dipôles élémentaires

Simulation

Vidéo

Voyage en électricité Ep 23 - R, L, C, Phi et les autres

https://www.youtube.com/watch?v=foWi9-6WDGE

QCM