Analogie hydraulique
Les charges sont comparables à un courant d’eau qui descendrait le long de canalisations se séparant ou se rejoignant.
Comme l’eau dans un tuyau se séparant dans un embranchement ne disparaît pas, les charges dans une séparation du circuit électrique non plus.
Le point de séparation du circuit est appelé le nœud.
Il n'y a pas de pertes donc ce qui provient de plusieurs conducteurs ressortira des autres conducteurs.
Loi des nœuds
Dans un circuit électrique où plusieurs branches se rencontrent: un nœud, à chaque instant, la somme \( (\sum) \) de toutes les intensités des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants d’un nœud.
Il est important de noter que cette loi est valable à chaque instant, ce qui se notera avec des lettres minuscules.
\( \sum {{i_{{\rm{entrant}}}} = } \sum {{i_{{\rm{sortant}}}}} \)
Cette loi est valable tout le temps, mais il ne faut pas ajouter n'importe quoi:
- on peut additionner les courants à chaque instant \( t \) pour trouver le courant total \( i_{tot}(t) = i_1(t)+i_2(t)+... \)
- Si les courants sont sinusoïdaux, la loi précédente est toujours vraie mais attention \( I_{tot} \ne I_1 + I_2 \) car la notation précédente concerne les grandeurs efficaces. Dans un circuit en régime sinusoïdal les courants peuvent il faut tenir compte du déphasage des courants les uns par rapport aux autres, car ils ne passent pas par leur maximum aux mêmes instants. Dans ce cas il est nécessaire d'utiliser au choix:
- les vecteurs de Fresnel : \( \overrightarrow{I}_{tot}(t) = \overrightarrow{I}_1+\overrightarrow{I}_2+... \)
- les complexes : \( \underline{I}_{tot}(t) = \underline{I}_1+\underline{I}_2+... \)
- la méthode de Boucherot est une méthode qui permet de connaître le courant total d'une installation en faisant les bilan des puissances (Bilan des P, bilan des Q, en déduire S, en déduire I)
Loi des nœuds ou des branches en sinusoïdal
Dans l'exemple suivant un courant \( i(t) \) est la somme de deux courants \( i_1(t)+i_2(t) \) de même fréquence de 50Hz soit une pulsation de 314 rad/s. ais les courants \( i_1(t) \) et \( i_2(t) \) ne sont pas en phase:
- Le courant \( i_1(t) \) vaut 4 A de valeur efficace et est déphasé de \( 30° \) soit \( \frac{\pi}{6} rad \) par rapport à l'origine. Sa notation temporelle serait \( i_1(t) = 4 \sqrt{2} sin \left( 314 \times t + \frac{\pi}{6} \right) \)
- Le courant \( i_2(t) \) vaut 6 A de valeur efficace et est déphasé de \( 60° \) soit \( \frac{\pi}{3} rad \) par rapport à l'origine. Sa notation temporelle serait \( i_2(t) = 6 \sqrt{2} sin \left( 314 \times t + \frac{\pi}{3} \right) \)
Leurs vecteurs de Fresnel respectifs sont donc :
- \( {\vec I_1} = \left[ {4;\frac{\pi }{6}} \right] \)
- \( {\vec I_2} = \left[ {6;\frac{\pi }{3}} \right] \)
La loi des nœuds peut alors s'écrire vectoriellement: \( \vec I = {\vec I_1} + {\vec I_2} \)
La construction graphique permet de trouver la valeur et le déphasage du courant total \( I \).
Une analyse géométrique du schéma ainsi fait permet d'arriver à un calcul précis de sa valeur. Il suffit pour cela de projeter chaque vecteur sur l'axe horizontal et vertical pour connaître les deux côtés du triangle rectangle ayant pour hypoténuse le courant \( I \).
\( \underline{I} = {I_1}\cos {\varphi _1} + j \times {I_1}\sin {\varphi _1} + {I_2}\cos {\varphi _2} + j \times {I_2}\sin {\varphi _2} \)
\( \underline{I} = \underbrace {{I_1}\cos {\varphi _1} + {I_2}\cos {\varphi _2}}_{I\cos \varphi } + j \times \underbrace {\left( {{I_1}\sin {\varphi _1} + {I_2}\sin {\varphi _2}} \right)}_{I\sin \varphi }\)
Exercices
- Sur la plateforme WIMS, de nombreux exercices sont possibles.
- Le lycée Charles Augustin Coulomb présente aussi des exemples
- QCM sur les lois de Kirchhoff http://fabrice.sincere.free.fr/qcm/qcm.php?nom=qcm_kirchhoff
