Analogie hydraulique
Les hauteurs d'une montagne sont comparables aux différences de potentiel.
La tension est une grandeur que l'on peut comparer à une hauteur de chute d'eau.
La hauteur entre les points A et B est la hauteur du point B moins la hauteur du point A, donc c'est la hauteur du point B par rapport au point A
\( h_{A/B}=h_B-h_A \)
La hauteur du point A par rapport au point B sera donc prise dans le sens inverse et sera à l'opposé de \( h_{A/B} \) donc \( h_{B/A}=-h_{A/B}=h_A-h_B \)
Par analogie avec les hauteurs on comprend que si l’on fait un parcours en montagne par exemple, si l’on revient au point de départ, la hauteur finalement atteinte n’ayant pas changé, la somme de toutes les hauteurs est nulle.
En effet, le parcours est effectué avec des montées (que l'on compte positivement) et des descentes (comptées négativement) suivant les portions du parcours.
On remarque que:
\( h_{AB}+ h_{BC} + h_{CD} + h_{DA}=0 \)
Généralités de la loi des mailles
L’analogue du circuit en boucle est la maille : on parle de maille quand on part d’un point du circuit, que l’on suit le circuit et que l’on revient au point de départ. donc:
- La somme des tensions effectuées en parcourant une maille est nulle.
Une différence de hauteur, se traduit par une différence de potentiel électrique, où la tension \( U_{AD}=V_A-V_D \).
La tension \( U_{AD} \) est une flèche à coté du circuit allant de D vers A.
Une tension positive va d'un potentiel faible vers un potentiel fort dans un récepteur et cette flèche est dans le sens opposé au courant le traversant.
Une tension positive va d'un potentiel faible vers un potentiel fort dans un générateur et sera dans le même sens que le courant de traversant.
Il faut relever que la convention des flèches des tensions est l'inverse de la littérature technique Suisse.
En suisse, la littérature indique que la flèche de tension est dessinée allant d'un potentiel fort vers un potentiel faible dans un récepteur et suit donc le parcours du courant.
Dans le schéma suivant: \( U_{AD}=V_A-V_D=U_{générateur} \)
Si l’on parcourt la maille les tensions seront comptées positivement ou négativement suivant l’orientation de celles ci.
\( U_{générateur}-U_{moteur}-U_{lampe}=0 \)
\( U_{générateur}=U_{moteur}+U_{lampe} \)
Ou dans un cas plus général, si l'on prend divers points aux potentiels \( v_A \), \( v_B \) et \( v_C \)
alors \( v_{A} - v_{A} = 0 \)
\( \Rightarrow v_{A} - v_{B} + v_{B} - v_{C} + v_{C} - v_{A} = 0 \)
\( \Rightarrow u_{AB} + u_{BC} + u_{CA} = 0 \)
Loi des mailles en régime quelconque
La loi des mailles est toujours vraie, que les tensions soient sinusoïdales ou non.
Seules les relations liant tensions et courants changeront suivant la nature des dipôles et les formes des tensions et/ou courants.
Loi des mailles en sinusoïdal
Représentation à l'aide des vecteurs de Fresnel
Traduction mathématique par les complexes de la loi des mailles
Les nombres complexes permettent de formaliser, et donner un résultat précis de la somme de 2 grandeurs sinusoïdales.
Alors que les vecteurs de Fresnel sont un outil graphique, dont la précision dépend du soin de la figure réalisée, et se retrouve vite limitée en cas de nombreux vecteurs à additionner, les complexes donnent lieu à plus de calculs (que l'on peut automatiser dans un tableur par exemple) mais sont plus précis.
La loi des maille appliquée au schéma ci-contre est telle que \( u(t)=u_1(t)+u_2(t) \).
Il est donc possible d'y associer la somme de deux grandeurs vectorielles \( \vec U = {\vec U_1} + {\vec U_2} \).
Mais on peut aussi associer les grandeurs complexes telles que \( \underline U = {\underline U_1} + {\underline U_2} \).
On peut décomposer chaque vecteur suivant ses coordonnées sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical. On se sert pour cela des formules de trigonométrie
U peut être décomposé en deux parties:
- une sur l'axe horizontal qui est la somme des décompositions sur cet axe de \( U_1 \) et \( U_2 \)
- donc pour \( U_1 \): \( U_1 cos \varphi_1\)
- et pour \( U_2 \): \( U_2 cos \varphi_2\)
- et une sur l'axe vertical qui est la somme des décompositions sur cet axe de \( U_1 \) et \( U_2 \)
- donc pour \( U_1 \): \( U_1 sin \varphi_1\)
- et pour \( U_2 \): \( U_2 sin\varphi_2\)
L'écriture complexe de cette décomposition se notera donc :
\( \underline{U} = {U_1}\cos {\varphi _1} + j \times {U_1}\sin {\varphi _1} + {U_2}\cos {\varphi _2} + j \times {U_2}\sin {\varphi _2} \)
puis en rassemblant parties réelles et imaginaires: \(\underline{U}= \underbrace {{U_1}\cos {\varphi _1} + {U_2}\cos {\varphi _2}}_{U\cos \varphi } + j \times \underbrace {\left( {{U_1}\sin {\varphi _1} + {U_2}\sin {\varphi _2}} \right)}_{U\sin \varphi } \)
Grâce à Pythagore on sait que l'hypothénuse \( U \) au carré est la somme des deux autres côtés au carré, ou l'expression du module du nombre complexe \(\underline{U}\).
Donc \( U^2 = (U_1 cos \varphi_1 + U_2 cos \varphi_2)^2 + (U_1 sin \varphi_1 + U_2 sin \varphi_2)^2\)
Soit \( U =\sqrt{(U_1 cos \varphi_1 + U_2 cos \varphi_2)^2 + (U_1 sin \varphi_1 + U_2 sin \varphi_2)^2}\)
et \( tan \varphi=\frac{U_1 sin \varphi_1 + U_2 sin \varphi_2}{U_1 cos \varphi_1 + U_2 cos \varphi_2} \)
donc \( \varphi=arctan \left( \frac{U_1 sin \varphi_1 + U_2 sin \varphi_2}{U_1 cos \varphi_1 + U_2 cos \varphi_2} \right) \) ce qui correspond à l'argument du nombre complexe \(\underline{U}\)
Si \( \underline{U}_1= [2\sqrt{2};\frac{\pi}{4}] \) et \( \underline{U}_2 = -3-4j \) et \( \underline{U}_3 = \underline{U}_2 + \underline{U}_1 \).
On peut mettre \( \underline{U}_1 \) sous forme cartésienne : \( \underline{U}_1= 2\sqrt{2} \times cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + j 2\sqrt{2} \times sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 + 2j \)
La somme \( \underline{U}_3 = \underline{U}_2 + \underline{U}_1 \) est alors plus évidente \( \underline{U}_3 = -3 -4j +2 +2j \)
Donc \( \underline{U}_3 = -1 -2j \)
Si on exprime ce nombre complexe en coordonnées polaires:
- son module vaut \( U_3 = \sqrt{1^2+2^2}= \sqrt{5}\)
- sa phase est telle que \( tan \varphi = \frac{-2}{-1} \Rightarrow \varphi = arctan {2} = 1,107 \) soit \( 63° \) mais défini à \( \pi \) près (Voir les définitions de la tangente)
- le cosinus et le sinus de l'angle sont négatifs donc cela ne peut être \( 63° \)
- l'angle \( \varphi \) est donc \( 63+180 = 243° \) soit \( 243 - 360 = -117° \) soit \( -2.04 rad \)
QCM
- QCM sur les lois de Kirchhoff en continu http://fabrice.sincere.free.fr/qcm/qcm.php?nom=qcm_kirchhoff
