Exemple d'une moyenne
La valeur moyenne d'une grandeur est comme la moyenne des notes:
- Si au Devoir Surveillé DS1 la note acquise est de 20/20
- puis DS2 : 10/20
alors la moyenne sera \( \frac{10+20}{20+20}=\frac{15}{20} \)
- si on rajoute un DS3 : 10/20
alors la moyenne sera \( \frac{10+10+20}{20+20+20}=\frac{13.33}{20} \)
- et ainsi de suite...
On voit que le nombre de fois que l'on acquiert telle ou telle note influe sur la moyenne, on peut donc comprendre que le temps pendant lequel on reproduit la même note influe sur la moyenne.
La figure suivante montre une succession de notes qui décroissent régulièrement jusqu'à 8, se stabilisent et remontent, puis ce même schéma se répète. On se rend compte que comme le schéma se répète, il suffit de calculer la moyenne sur le motif qui se répète. La moyenne dépend donc toujours des notes qui ont un poids d'autant plus important que celle-ci apparait souvent.
Si maintenant on considère que les notes ne sont plus discrètes mais continues (on pourrait aussi considérer la vitesse d'une voiture qui évolue au cours du temps). Que vaut alors cette note moyenne?
Comme précédemment chaque note possède un poids d'autant plus important qu'elle apparait souvent:
- le 8 compte du temps 3 à 4 soit 8*(4-3) =8 ce qui représente l'aire sous cette portion de droite
Pour chaque portion de droite, il suffit de prendre l'aire sous la courbe
- de 1 à 3 les notes baissent de 20 à 8, on a l'aire d'un trapèze : (3-1)*(20+8)/2=28
- de 4 à 6 les notes montent de 8 à 20, on a l'aire d'un trapèze : (6-4)*(8+20)/2=28
Et il suffit ensuite de diviser la somme de ces aires (64) par la période du motif (6-1=5) 64/5=12.8
Moyenne d'une grandeur définie par une courbe
Si la grandeur dont on cherche la valeur moyenne est définie par une courbe, il suffit de calculer l'aire entre la courbe et le 0 (l'axe des abscisses.
- on comptera positivement les aires au dessus de l'axe des abscisses
- on comptera négativement les aires au dessous de l'axe des abscisses
puis de diviser par le temps pendant lequel on a acquis la grandeur.
Si la grandeur est périodique , la valeur moyenne d'une grandeur périodique se calcule par la méthode des aires: \( \left\langle x \right\rangle = \frac{{{A_1} - {A_2}}}{T} \) ou dit de façon plus mathématique \(\left\langle x \right\rangle = \bar x = {X_0} = \frac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {x(t)dt} \)
Exemple:
Pour un courant électrique
L'intensité moyenne d'un courant est l'intensité d'un courant continu qui transporterait la même quantité de charges.
Mesure de la valeur moyenne d'une grandeur électrique
Elle se mesure avec
- Appareils analogiques : appareils magnétoélectriques notés
.
- Appareils numériques : en position DC ou
.
- Oscilloscope: En passant de la position DC à AC, le décalage du signal est égal à la valeur moyenne de la tension visualisée.
Rappels sur la mesure au multimètre
Quelques calculs classiques de valeurs moyennes
- Exemples de calculs du site http://eleectrotechnique.fr : doc pdf
Autoévaluation
Autoévaluation du Lycée Charles Augustin Coulomb Etude générale d'une grandeur périodique.
