Notions fondamentales sur les complexes:
Les complexes permettent de répondre à des problèmes qui ont de vraies solutions en résolvant des équations dont des carrés sont négatifs.
Dans les complexes le "nombre" complexe \( j \) (\( i \) en mathématique) est tel que \( j^2 = -1 \).
Dans un plan complexe:
- l'axe horizontal du plan est appelé l'axe des réels
- l'axe vertical du plan est appelé l'axe des imaginaires la multiplication par \( j \) correspond à une rotation de \( +\frac{\pi}{2} \)
Un point du plan complexe peut être caractérisé de deux manières différentes:
- par une longueur \( U \) et un angle \( \varphi \), ce qui donne lieu à la notation trigonométrique ( coordonnées polaires ) : \(\left[ {U;\varphi } \right] \)
- par une longueur suivant les réels (abscisse) : \( a \) et une longueur suivant les imaginaires (ordonnées) : \( b \) ce qui donne lieu à la notation algébrique ( coordonnées cartésiennes ) \( \underline{U}= U cos\varphi + j U sin\varphi = a+ j b \)
Addition de complexes
Il est nécessaire d'utiliser la forme cartésienne:
| \( \underline{U_1} + \underline{U_2} = ( a_1 + j b_1 ) + ( a_2 + j b_2 ) = ( a_1+ a_2 ) + j ( b_1 + b_2 ) \) |
Ssoustraction de complexes
Il est nécessaire d'utiliser la forme cartésienne:
| \( \underline{U_1} - \underline{U_2} = ( a_1 + j b_1 ) - ( a_2 + j b_2 ) = ( a_1- a_2 ) + j ( b_1 - b_2 ) \) |
Multiplication de complexes
Les deux formes, polaire et cartésienne, sont utilisables, mais la forme polaire est la plus simple :
| \( \underline{U}_1 \times \underline{U}_2 = \left[ {{U_1};{\varphi _1}} \right] \times \left[ {{U_2};{\varphi _2}} \right] = \left[ {{U_1} \times {U_2};{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right] \) |
Fraction de complexes
Les deux formes, polaire et cartésienne, sont utilisables, mais la forme polaire est plus simple à utiliser
| \( \frac{{{\underline{U}_1}}}{{{\underline{U}_2}}} = \frac{{\left[ {{U_1};{\varphi _1}} \right]}}{{\left[ {{U_2};{\varphi _2}} \right]}} = \left[ {\frac{{{U_1}}}{{{U_2}}};{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right] \) |
Cours extérieurs
- Cours de l'université de Moncton
Stéphane Jaubert: partie 1 (13'51")
https://www.youtube.com/watch?v=2GwSUDm_Rg8
Stéphane Jaubert: partie 2 (13'43")
