Les équations de Maxwell
- \( div \vec D = \rho \) Maxwell-Gauss
- \( div \vec B = 0 \)
- \( \overrightarrow {rot\,\vec H} = \vec j + \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}} \) Maxwell-Ampère
- \( \overrightarrow {rot\,\vec E} = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \) Maxwell-Faraday
avec \( \vec D = \varepsilon \vec E \), \( \vec B = \mu \vec H \), \( \vec j = \sigma \vec E \)
Sources vidéos
Richard Taillet: http://podcast.grenet.fr/podcast/cours-delectromagnetisme/
- cours #1 Électricité et magnétisme : lois locales (L2):https://www.youtube.com/watch?v=5EU9BcWCKlQ
- cours #2 Induction électromagnétique (L2) : https://www.youtube.com/watch?v=24Mgv7b5PiE
- cours #3 Induction et auto-induction (L2) : https://www.youtube.com/watch?v=XCoqdXLkarY
- cours #4 Équations de Maxwell (L2): https://www.youtube.com/watch?v=kqNhPo3z6iI
- cours #5 Ondes électromagnétiques : https://www.youtube.com/watch?v=dYPqbL7S2vE
- cours #6 Ondes électromagnétiques :
- cours #7 Polarisation des ondes électromagnétiques
- cours #8 Milieux diélectriques
- cours #9 Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux
Physique MPSI - PCSI - PTSI - BCPST : Electrocinétique. ARQS, RL, RLC: https://www.youtube.com/watch?v=nr0JkXuBVmU
57 - Tutoriel : Les équations de Maxwell (Heaviside) avec les explications du sens de divergence et rotationnel https://www.youtube.com/watch?v=sX01wp43rQc
Champ électrique
Force de Coulomb
La force subie par la charge \( q_1 \) de la part de la charge \( q_2 \): \( {\vec F_{2 \to 1}} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}{\vec u_{2 \to 1}} \)
La force subie par la charge \( q_1 \) de la part de n charges : \( {\vec F_{tot \to 1}} = \sum\limits_{n > 1} {\frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_n^2}}{{\vec u}_{n \to 1}}} \)
ou si on factorise par \( q_1 \) alors \( {\vec F_{tot \to 1}} = {q_1}\sum\limits_{n > 1} {\frac{{{q_2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_n^2}}{{\vec u}_{n \to 1}}} \)
Si on pose \( \vec E(\vec r) = \sum\limits_{n > 1} {\frac{{{q_2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_n^2}}{{\vec u}_{n \to 1}}} \) qui est le champ de vecteur du champ électrique qui dépend de la position r
alors \( {{\vec F}_{tot \to 1}} = {q_1} \cdot \vec E \)
Il apparait que la divergence d'un champ de vecteur de la forme \( \vec V = \frac{{{{\vec u}_r}}}{{{r^2}}} \) est nulle.
| \( div \vec V = 0 \) |
En se servant du fait que \( \vec u_r = \frac{\vec r}{r} \)
et \( \vec r = \left( {\matrix{ {x} \cr {y} \cr {z} }} \right) \)
donc \( r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \)
et la dérivée d'un produit \( u \times v = u'v +vu' \)
et la dérivée d'une fonction élevée à une puissance : \( (f^\alpha (x))' = \alpha f'(x) f^{\alpha-1} (x) \)
Un champ de vecteur radial est de la forme :
\( \vec V = \frac{{{{\vec u}_r}}}{{{r^2}}} \)
donc \( V_x = \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \)
\( \vec V = \left( {\matrix{ {V_x} \cr {V_y} \cr {V_z} }} \right) = \left( {\matrix{ {\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} \cr {\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} \cr {\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}} }} \right) \)
donc \( \frac{{\partial {V_x}}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left\{ {x{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{-3/2}}} \right\} \)
faisons le calcul pour \( \frac{{\partial {V_x}}}{{\partial x}} = {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^{3/2}} + x\left( { - \frac{3}{2}} \right)\left( {2x} \right){\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^{5/2}} \)
Soit \( \frac{{\partial {V_x}}}{{\partial x}} = {r^{ - 3}} - 3{x^2}{r^{ - 5}} \)
Ce que l'on peut étendre aux autres coordonnées
- \( \frac{{\partial {V_y}}}{{\partial x}} = {r^{ - 3}} - 3{y^2}{r^{ - 5}} \)
- \( \frac{{\partial {V_z}}}{{\partial x}} = {r^{ - 3}} - 3{z^2}{r^{ - 5}} \)
Donc \( div \vec V = 3{r^{ - 3}}- 3{r^{ - 5}}({x^2+y^2+z^2})=0 \)
Donc \( div \vec V = 0 \)
Donc si \( \vec V = \frac{{{{\vec u}_r}}}{{{r^2}}} \) alors \( div \vec V = 0 \).
Attention: ce n'est valable que pour \( \frac{1}{r^2} \) mais pas pour \( \frac{1}{r} \) ou \( \frac{1}{r^3} \)
Or \( \vec E = {\frac{{{q}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r_n^2}}{{\vec u}_{r}}} \)
Donc \( div \vec E = 0 \) pour un champ électrique créé par une charge ponctuelle et en dehors de celle-ci ( r doit être différent de zéro)
Dans un cadre plus général:
\( div \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon _0} \)
- \( \rho \) est la charge volumique en Coulomb/m3
Si on calcule la \( div \vec E \) dans un milieu chargé sa divergence n'est plus nulle. Par contre si on la calcule en dehors d'une charge elle est bien nulle.
