Pourquoi Laplace
Dans les cas où l’étude mathématique d'une équation différentielle est complexe, l’analyse par l’intermédiaire de la transformation de la Laplace du système sera préférable.
En effet la transition d’un système est une fonction causale (grandeurs du système « nulles » avant t=0) faisant intervenir les grandeurs d’entrée et sortie et leurs dérivées.
L’avantage de la transformée de Laplace réside dans le fait que la résolution d’un système d’équation différentielles se transforme en la résolution d’une fonction polynomiale, et il est plus aisé de résoudre une équation polynomiale qu'une équation différentielle.
Définition de la transformée de Laplace
On considère la transformée de Laplace comme : \( \mathscr{L} \left[ {f(t) \cdot h(t)} \right] = \int\limits_0^\infty {{e^{ - pt}}f(t)dt} = F(p) \)
Transformation d'une dérivée ou d'une intégrale (cas général)
- La transformation de Laplace transforme une dérivée en un produit par la variable de Laplace \( p \).
- La transformation de Laplace transforme une intégrale en une fraction par la variable de Laplace \( p \).
On écrira donc dans le cas général :
- pour une dérivée \( \frac{{df(t)}}{{dt}} \to pF\left( p \right) -f(0^-)\)
- et pour une intégrale \( \int {f(t)} dt \to \frac{1}{p}F\left( p \right) + \frac{1}{p}\int\limits_a^0 {f(\tau )d\tau } \)
Transformation d'une dérivée ou d'une intégrale
Une simplification apparait souvent: Comme \( f(0) = 0 \) et \( f'(0) = 0 \) alors
- La transformée de Laplace de la dérivée devient\( \frac{{df(t)}}{{dt}} \to pF\left( p \right) -f(0)\)
- La transformée de Laplace de l'intégrale devient \( \int {f(t)} dt \to \frac{1}{p}F\left( p \right) \)
Théorème de la valeur finale
Le théorème de la valeur finale permet de déterminer vers quoi tend une fonction temporelle. Il nous permettra donc de déterminer la valeur ou fonction vers laquelle tend le régime établi ou stabilisé.
\( \mathop {\lim }\limits_{t \mapsto \infty } f(t) = \mathop {\lim }\limits_{p \mapsto {0^ + }} pF(p) \)
Transformées usuelles
| fonction temporelle | transformée de Laplace |
| échelon U(t) | \( \frac{1}{p} \) [1] |
https://www.youtube.com/watch?v=xXfCWBQ8TGw
Quelques cas où apparaissent les équations différentielles
| Schéma | Relation temporelle | Laplace |
| \( u(t) = R \cdot i(t) \) | \( U(p) = R \cdot I(p) \) | |
| \( u(t) = L \cdot \frac{{di(t)}}{{dt}} \) | \( U(p) = L \cdot p \cdot I(p) - L \cdot i(0) \) | |
| \( i(t) = C \cdot \frac{{du(t)}}{{dt}} \) | \( I(p) = C \cdot p \cdot U(p) - C \cdot u(0) \) |
Résolution d'une équation différentielle
A l'aide de Laplace résoudre \( y'' + y = \sin (2t) \) avec \( y(0)=2\) et \( y'(0) = 1 \)
Une résolution donnée sur youtube
