Seul le fondamental de la grandeur périodique participe à la puissance active
| \( P = V{I_1}\cos {\varphi _1} \) |
Pour un récepteur quelconque, alimenté par une tension quelconque v(t) périodique de période T, et traversé par un courant i(t), la puissance active ou moyenne s’écrit uniquement à partir de la formule : \(P = \left\langle p \right\rangle = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {v(t) \cdot i(t)} \cdot dt\)
Si une tension sinusoïdale alimente un dipôle non linéaire le courant sera déformé et donc fourni en harmoniques. L'expression mathématique du courant est donc de cette forme:
\( i(t) = {I_1}\sqrt 2 \sin (\omega t - {\varphi _1}) + {I_2}\sqrt 2 \sin (2\omega t - {\varphi _2}) + ... + {I_n}\sqrt 2 \sin (n \omega t - {\varphi _n}) + ... \)
Donc la puissance moyenne est due à l’influence de la valeur moyenne et de chaque harmonique :
\( P = \left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times \left[ {{{\hat I}_1}\sin \left( {\omega t - {\varphi _1}} \right) + {{\hat I}_2}\sin \left( {2\omega t - {\varphi _2}} \right) + {{\hat I}_3}\sin \left( {3\omega t - {\varphi _3}} \right) + ...} \right]} \right\rangle \)
\(P = \underbrace {\left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times {{\hat I}_1}\sin \left( {\omega t - {\varphi _1}} \right)} \right\rangle }_{V{I_1}\cos {\varphi _1}} + \underbrace {\left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times {{\hat I}_2}\sin \left( {2\omega t - {\varphi _2}} \right)} \right\rangle }_0 + \underbrace {\left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times {{\hat I}_3}\sin \left( {3\omega t - {\varphi _3}} \right)} \right\rangle }_0 + ... \)
Il s'avère que seul le premier terme n'est pas nul donc. Les autres termes étant le produit d’une sinusoïde par une sinusoïde de fréquence multiple, la résultante donne une fonction alternative donc de valeur moyenne nulle:
Remarque : Dans un cas où les deux grandeurs sont non sinusoïdales chaques termes de mêmes fréquences contribueront à la puissance active : \( P = \left\langle v \right\rangle \cdot \left\langle i \right\rangle + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{V_n}{I_n}\cos {\varphi _n}} \)
