Le comportement d'un processus linéaire autour d'un point de fonctionnement peut être décrit par une équation différentielle. La forme générale de cette équation est :
\( a_n \frac{d^{n}s}{dt^{n}} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}s}{dt^{n-1}} + ... + a_1 \frac{ds}{dt} + a_0 s = b_m \frac{d^{m}e}{dt^{m}} + b_{m-1} \frac{d^{m-1}e}{dt^{m-1}} + ... + b_1 \frac{de}{dt} + b_0 e\)
Grâce aux propriétés de la transformée de Laplace, on a
\( (a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}+...+a_1 p + a_0) S(p) = (b_m p^m + b_{m-1} p^{m-1}+...+b_1 p + b_0) E(p) \)
On en déduit la transmittance ou fonction de transfert \( T(p) \) du système
\( H(p) = \frac{{S(p)}}{{E(p)}} = \frac{{{b_n}{p^m} + {b_{m - 1}}{b^{m - 1}} + ... + {b_1}p + {b_0}}}{{{a_n}{p^n} + {a_{n - 1}}{p^{n - 1}} + ... + {a_1}p + {a_0}}} = \frac{{N(p)}}{{D(p)}} \)
Les racines complexes (\( c-j \)) du numérateur \( N(p) \) sont les zéros de la fonction de transfert.
Les racines (\( d_i \)) du dénominateur \( D(p) \) sont appelées pôles.
L'ordre n du numérateur est également l'ordre de la fonction de transfert \( H(p) \). La transmittance peut donc s'écrire :
\( H(p) = \frac{\left( {p - {c_m}} \right)\left( {p - {c_{m-1}}} \right)\left( {p - {c_1}} \right)\left( {p - {c_0}} \right) }{\left( {p - {d_m}} \right)\left( {p - {d_{m-1}}} \right)\left( {p - {d_1}} \right)\left( {p - {d_0}} \right) } \)
On montre qu'en régime sinusoïdal il suffit de remplacer la variable \( p \) par \( j\omega \) pour obtenir la fonction de transfert isochrone. On peut alors étudier le système à partir des diagrammes de Bode du gain G (en dB) et de l'argument \varphi (en rad) :
\( \begin{array}{l} {G_{dB}} = 20\log \left| {\underline H (j\omega )} \right| \\ \varphi = \arg (\underline N (j\omega )) - \arg (\underline D (j\omega )) \\ \end{array} \)
