Pour avoir un signal de sortie \( s \) avec \( \varepsilon= 0 \) (système instable), il faut que \( F(p) = \frac{{N(p)}}{{D(p)}} \) soit infini soit \( D(p) = 0 \).
- Il apparaît alors que le système sera instable si \( D(p) = 0 \) pour une valeur de \( p \) donc pour une fréquence réaliste soit une valeur de p à partie réelle positive. Ceci nous amènera à une définition mathématique de la stabilité : ce sont les critères mathématiques de Routh Hurwitz et du lieu des pôles.
- Dans le cas d’un système bouclé \( F(p) = \frac{{H(p)}}{{1 + K(p)H(p)}} \) donc la condition vue ci-dessus donne \( 1 + K(p)H(p) = 0 \) soit en complexe \( \underline{T}(j\omega ) = \underline{K} \cdot \underline{H} = - 1 \) donc \( \left\{ \begin{array}{l} K \cdot H = 1 \\ Arg(\underline{K} \cdot \underline{H}) = \pm \pi \\ \end{array} \right. \)
Ces deux conditions définissent un point critique au-delà duquel un système sera instable.
- Sur le diagramme de Bode
- si pour un argument de \( \pi \) (opposition de phase, \( KH>1 \), les oscillations augmentent d’amplitude et le système est instable.
