Transformation de formules

L'usage de formules en physique, en mathématique, en électricité est relativement fréquent.

Il est donc indispensable de maîtriser les techniques fondamentales permettant d'extraire la donnée voulue d'une formule.

Quelques conseils pour bien écrire vos équations

Il est nécessaire de

• Utiliser les données du texte et non celles de votre calculatrice lorsque vous écrivez une formule.
• Comme il n'existe pas assez de lettres dans l'alphabet pour qualifier les diverses grandeurs utilisées, on a utilisé des lettres grecques (écrivez les correctement!)
• De plus l'usage d'indice permet là encore de nommer différemment des grandeurs similaires d'éléments différents (ex: les résistances \( R_1 , R_2, R_3 \)). Ecrivez correctement ces indices de façon à ce que l'on ne les confonde pas avec \( R \cdot 3 \)
• Lorsque vous écrivez une équation, elle doit comporter un signe égal qui indique une équivalence : \( E-R \cdot I \) ne veut rien dire mais \( U = E-R \cdot I \) si!
• Si une écriture fractionnaire est présente placez la barre de fraction en face du signe égal. En effet, dans une bobine en sinusoïdal \( I = \frac{U}{\frac{1}{j \cdot C \cdot \omega}} \) ce qui est différent de \( I = \frac{\frac{U}{1}}{j \cdot C \cdot \omega} \)

"Faire passer" un terme d'un côté à l'autre du signe égal d'une équation

'Analogie de la balance:'

Si on part d'une situation d'équilibre sur une balance :

• d'un côté :
  • un tas \( T \)
  • et 4 boules \( B \)

en équilibre

• avec l'autre côté:
  • 6 boules \( B \)
  • et deux poires \( P \)

On peut donc écrire une éqalité de départ: \( T + 4 B = 6 B + 2 P \)
Si on enlève 2 boules d'un côté, il faut en enlever aussi 2 de l'autre côté de façon à maintenir l'égalité. L'équation devient : \( T + 2 B = 4 B + 2 P \)
Si on partage en deux un côté de la balance il faudra aussi partager en deux l'autre côté de la balance. L'équation devient \( \frac{T}{2} + 2 B = 4 B + 2 P \)
Si on cherche la valeur d'une boule \( B \), il faut enlever toutes les boules d'un côté : L'équation devient \( T = 2 B + 2 P \)
Il faut enlever la valeur des poires des deux côté de façon à n'avoir plus que des boules d'un côté. On peut imager cela par une balance qui tirerait le plateau de gauche vers le haut d'une force équivalente à nos deux poires. L'équation devient \( T - 2P = 2 B \):
Il ne reste plus qu'à partager le contenu de chaque plateau en 2 pour avoir la valeur d'un boule. L'équation devient \( \frac{T}{2} - P = B \):

Exemple 1: Isoler notre inconnue

Si on a l'équation \( U = E -R \times I \) et que l'on souhaite déterminer E:

• On veut donc isoler E, il faut pour cela ajouter de chaque côté de l'égalité \( R \times I \) ce qui va l'éliminer du côté droit et le faire apparaître du côté gauche, mais ce n'est pas de la magie , on a juste effectué la même opération d'un côté et de l'autre
• On trouve donc \( U + R \times I = E \) ce qui est la même chose que \( E = U + R \times I \)

Si on a l'équation \( U = E -R \times I \) et que l'on souhaite déterminer I:

• On veut donc isoler I, il faut pour cela soustraire de chaque côté de l'égalité \( E \) ce qui va l'éliminer du côté droit et le faire apparaître du côté gauche et donne ainsi \( U - E = -R \times I \)
• On veut maintenant n'avoir plus que \( I \), il faut donc diviser des deux côtés par \( -R \) ce qui va donner \( \frac{U - E}{-R} = \frac{-R \times I}{-R} \) soit \( I = \frac{U - E}{-R} \)
• On peut simplifier l'expression en, en effet la division par \( -R \) n'est pas très parlante, il suffit alors de multiplier par \( -1 \) le haut et le bas de la fraction ce qui donne \( I = \frac{-(U - E)}{R} \) soit \( I = \frac{E-U}{R} \)

Exemple 2: l'inconnue apparait plusieurs fois

Si on a l'équation \( U = E -R_1 \times I -R_2 \times I \) et que l'on souhaite déterminer I:

• Il faut alors rassembler les courants I en les factorisant
• donc on soustrait d'abord \( E \) de chaque côté \( U - E = -R_1 \times I -R_2 \times I \)
• puis on factorise le courant \( U - E = I \times (-R_1 -R_2) \)
• puis on divise de chaque côté par \( (-R_1 -R_2) \) ce qui donne le courant \( I = \frac{U - E}{-R_1 -R_2}\)
• on peut simplifier en multipliant le haut et le bas de la fraction par \( -1 \) ce qui donne \( I = \frac{(-1) \times (U - E)}{(-1) \times (-R_1 -R_2)}= \frac{E - U}{R_1 + R_2}\)

Exemple 3: l'inconnue apparait sous une fraction

si une équation fait intervenir notre inconnue de part et d'autre d'une fraction, il peut être utile de simplifier l'équation afin de revenir au cas précédent.

Exemple: Si l'on cherche I dans l'équation \( \frac{R_1 I +E}{R_3 I}=\eta \) , il suffit de multiplier par \( R_3 I \) pour revenir à une équation du type \( R_1 I +E=\eta \times R_3 I\)

Exemple 4: l'inconnue apparait au carré et à la puissance 1

• On peut déjà mettre notre équation dans le bon sens \( U \cdot I - R \cdot I^2 = P \)
• On soustrait de chaque côté \( P \) ce qui donne \( U \cdot I - R \cdot I^2 - P = O\)
• L'égalité précédente mélange des \( I \) et des \( I^2 \): a priori c'est pas simple. Factoriser par \( I \) nous laissera un \( I \) solitaire.
• C'est là que l'on va se servir des identités remarquables et simplifier ainsi ce polynôme de façon à faire apparaitre les deux racines de cette équation.

Rappels

• la multiplication est distributive :\( a \times (b+c) = a \times b + a \times c \)
• Une fraction n'est pas modifiée si on multiplie le numérateur et le dénominateur: \( \frac{a}{b}=\frac{a \times d }{b \times d}\)
• Pour ajouter deux fractions il faut les mettre au même dénominateur \( \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \times d }{b \times d}+\frac{c \times b }{d \times b}=\frac{a \times d + c \times b}{b \times d} \)
• \( 10^a \times 10^b = 10 ^{a+b} \)
• \( (10^a)^b = 10 ^{a \times b} \)