Rappels sur la fonction exponentielle et ses valeurs particulières
Rappels sur la fonction exponentielle
- \( e^{-\infty}=0 \) et \( e^0=1 \) .
- l'inverse de la fonction exponentielle : \( e^x \) est la fonction logarithme népérien \( ln(x) \) , \( ln(e^x)=x=e^{ln x} \).
- un petit détour vers cette merveilleuse fonction logarithme permettra d'en dévoiler quelques secrets.
Etudions les valeurs particulières de cette fonction de façon à pouvoir retrouver sur un oscillogramme la valeur de la constante de temps.
Calculons la valeur de \( (1 - {e^{ - t/\tau }}) \) pour \( \tau \) et \( 3\tau \)
| \( t=\tau \) | \( e^{ - t/\tau }=0.37 \) soit 37 % | \( (1-e^{ - t/\tau })=0.63 \) soit 63 % |
|---|---|---|
| \( t=3\tau \) | \( e^{ - t/\tau }=0.05 \) soit 5 % | \( (1-e^{ - t/\tau })=0.95 \) soit 95 % |
- Donc pour trouver la valeur de \( \tau \) il suffit de trouver sur le signal étudié la valeur telle que y(t) soit égale à 63% de sa valeur max et de regarder à quel temps correspond cette valeur pour en déduire \( \tau \) ( 37% du max pour une décroissance) On définit le temps de réponse : \( t_{r5\%} \) : le temps au bout duquel la tension u ne diffère que de 5% de sa valeur finale donc \( t_{r5\%}=3 \times \tau \)
- Une autre méthode consiste à tracer la tangente à l’origine de la courbe ainsi que la droite asymptotique, l’écart temporel entre leur intersection et l’origine de la courbe est égal à \( \tau \)
- On définit parfois le temps de montée tm comme le temps de passage de 10% à 90% de la valeur max soit \( 2,2 \tau \)
Courbe de charge et influences du gain et de la constante de temps
Divers types de réponses d'un premier ordre
