Etablissement de l’équation différentielle :

u(t) est une tension périodique, en créneaux, de rapport cyclique \( \alpha = 0,5 \) . Considérons l’instant où le signal u(t) passe de 0 à la valeur maximale de u soit E. Le courant dans un condensateur est \( i(t) = C\frac{{d{u_c}}}{{dt}} \). La loi des mailles donne \( u(t) - Ri(t) - {u_c}(t) = 0 \) En remplaçant i(t) , faire apparaître l’équation différentielle relative à la tension uC

\( u(t) = \underbrace {RC}_\tau \frac{{d{u_c}}}{{dt}} + {u_c} \) soit \( \tau \frac{{d{u_c}}}{{dt}} + {u_c} = u(t) \)

Le produit RC est une constante caractérisant le circuit, appelée constante de temps notée \( \tau \) , elle s’exprime en secondes .

Résolution de l’équation différentielle :

Solution générale de l’équation sans second membre (SGESSM) :

\( {u_c}(t) = A{e^{ - t/\tau }} + B \)

Recherche d’une solution particulière (SP), détermination des constantes :

Cette solution particulière dépend du signal u(t) auquel est soumis le circuit. La solution générale est la somme de la SGESSM et de la SP.

  • Si u(t) est un signal en échelon : : le signal u(t) passe de 0 à E à t=0 puis de E à 0 à T/2

La SGESSM est toujours de la même forme : \( {u_{c1}}(t) = A{e^{ - t/\tau }} + B \)

La solution particulière (SP) est une constante \( {u_{c2}}(t) = B' \)

donc la solution générale est \( {u_c}(t) = A{e^{ - t/\tau }} + B'' \) avec (B’’=B+B’)

Les constantes A et B se déterminent en écrivant un système d’équations issu des valeurs connues de \( u_c \)

  • A t=0 \( {u_c}(0) = 0 = A + B'' \)
  • A \( t= \infty \) (on suppose pour l’instant que le signal n’est pas un créneau mais juste un échelon de tension de grandeur E) , donc et comme au bout d’un temps très long le condensateur est chargé complètement il prend donc la valeur de la tension d’alimentation : E donc \( A{e^{ - \infty /\tau }} = 0 \) soit \( {u_c}(\infty ) = B'' = E \)

Au final A=-B’’=-E , remplaçons ces deux résultats dans l’équation, on obtient

\( {u_c} = - E{e^{ - \frac{t}{\tau }}} + E = E\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}} \right) \)

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Transitoire/Condensateur_flash.htm

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Transitoire/chargeRC_TS.php

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/condo2.html

Relaxateur à néon http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electro/neon.html