Modèle du moteur à courant continu

Le modèle étant le suivant:

Etablissement de l’équation différentielle

Sur un solide en rotation on applique le théorème du moment cinétique

\( J\frac{{d\Omega }}{{dt}} = {T_{moteur}} - {T_{résist}} \) (1)

avec

  • \( J \) le moment d'inertie de toute la partie tournante
  • \( T_{moteur} \) : le couple électromagnétique \( {T_{moteur}} = K \times I \)
  • \( T_{résist} \) : le couple résistant
    • \( T_{résist}= T_C \) si le couple est constant
    • \( T_{résist}= f\Omega + T_C \) dans le cas d’un frottement visqueux avec \( f \) : le coefficient de frottement visqueux

L est-elle négligeable?

On ne peut justifier l'inductance négligeable qu'à postériori, en comparant la constante de temps électrique L/R de l'établissement du courant qui doit être très inférieure à la constante de temps mécanique que l'on va déterminer.

Dans le cas où l’inductance propre du rotor (l'induit) est négligeable, on a alors:

  • \( i = \frac{{U - E'}}{r} \)
  • \( E = K \times \Omega \)
  • \( T_{moteur} = K \times I \)

Donc \( T_{moteur} = K \frac{U-K\Omega}{R}\)

si le moteur est à flux constant. La relation (1) devient dans le cas d’un couple constant + visqueux

\( J\frac{{d\Omega }}{{dt}} + f\Omega = K\frac{{U - K\Omega }}{r} - {T_{résist}} \)

\( J\frac{{d\Omega }}{{dt}} + \left( {f + \frac{{{K^2}}}{r}} \right)\Omega = K\frac{U}{r} - {T_{résist}} \)

\( {\underbrace {\frac{J}{{\left( {f + \frac{{{K^2}}}{r}} \right)}}}_\tau \frac{{d\Omega }}{{dt}} + \Omega = \underbrace {\frac{{K\frac{U}{r} - {T_{résist}}}}{{\left( {f + \frac{{{K^2}}}{r}} \right)}}}_{{\Omega _{final}}}} \)

Le second membre est entièrement connu. C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants dont la solution est bien connue.

Résolution de l’équation différentielle :

Le terme f (frottement mécanique) est généralement négligeable devant le terme \( \frac{{{K^2}}}{r} \) qu’on peut appeler un terme de « frottement électrique ».

\( f \ll \frac{{{K^2}}}{r} \)

donc

\( \tau = \frac{J}{{f + \frac{{{K^2}}}{r}}} \approx \frac{{Jr}}{{{K^2}}} \)

On peut maintenant vérifier à postériori que la constante de temps \( \tau_{élec}=\frac{L}{r} \ll \tau\).

La solution générale est \( \Omega = C{e^{ - \frac{t}{\tau }}} \) + solution particulière.

La solution particulière est :

\( \Omega_{final} = \frac{{K\frac{U}{r} - {T_{r\'e sist}}}}{{\left( {f + \frac{{{K^2}}}{r}} \right)}} \)

si U est constant et en simplifiant (f=0 , Trésist=0), \( \Omega = \frac{U}{K} \)