fonction de transfert isomorphe d’une équation différentielle du premier ordre
Établissement de la transformée de Laplace d’une équation différentielle du premier ordre :fonction de transfert
Nous avons vu que l’équation différentielle d’un système du premier ordre se présente sous la forme
\( \tau \frac{{ds(t)}}{{dt}} + s(t) = k \times e(t) \)
\(\mathscr{L}\left[ {s(t)} \right] = S(p) \) et \(\mathscr{L}\left[ {e(t)} \right] = E(p) \) et comme \( \mathscr{L}\left[ {s'(t)} \right] =\mathscr{L}\left[ \frac{ds(t)}{dt} \right] = pF(p) - f({0^ + }) \)
Alors l’équation différentielle devient :
\( \tau pS(p) + S(p) = k \times E(p) \)
soit
| \( H(p) = \frac{{S(p)}}{{E(p)}} = \frac{k}{{1 + \tau p}} \) |
Traitement du problème :
La sortie est de la forme \( S(p) = \frac{k}{{1 + \tau p}}E(p) \) et dépend donc du type d'entrée qui sera soumise au système.
- Entrée Echelon :
\( e(t)\left\{ \begin{gathered} 0\,\,si\,\,t < 0 \hfill \\ E\,\,si\,\,t > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow E(p) = \frac{E}{p} \)
la sortie est alors \( S(p) = \frac{k}{{1 + \tau p}}\frac{E}{p} \Rightarrow s(t) = kE\left( 1 - e^{ - \frac{t}{\tau}}\right) \)
