Equations et schéma équivalent

Primaire Secondaire
Flux \( {\underline{\phi}_{1}} = {\underline{\phi}_{f1}} + {\underline{\phi}_{C}} \) \( {\underline{\phi}_{2}} = {\underline{\phi}_{f2}} + {\underline{\phi}_{C}} \)
Tensions En convention récepteur
\( {v_1} = {r_1}{i_1} + {N_1}\frac{{d{\phi _1}}}{{dt}} \)
\( {v_1} = {r_1}{i_1} + {N_1}\frac{{d{\phi _{f1}}}}{{dt}} + {N_1}\frac{{d{\phi _C}}}{{dt}} \)
En convention générateur
\( {v_2} = -{r_2}{i_2} - {N_2}\frac{{d{\phi _2}}}{{dt}} \) ∇
\( {v_2} = -{r_2}{i_2} - {N_2}\frac{{d{\phi _{f2}}}}{{dt}} + {N_2}\frac{{d{\phi _C}}}{{dt}} \) ∇
Gauss \({\phi _{f1}} = \frac{{{N_1}{i_1}}}{{{\Re _{air}}}}\) et \({\phi _C} = \frac{{{N_1}{i_1}}}{{{\Re _{fer}}}}\) \({\phi _{f2}} = \frac{{{N_2}{i_2}}}{{{\Re _{air}}}}\) et \({\phi _C} = \frac{{{N_2}{i_2}}}{{{\Re _{fer}}}}\) ∇
Tensions \({v_1} = {r_1}{i_1} + {\ell _{f1}}\frac{{d{i_1}}}{{dt}} + \underbrace {{N_1}\frac{{d{\phi _C}}}{{dt}}}_{{{V'}_1}}\) avec \( {V'_1} = {N_1}\frac{{d{\phi _C}}}{{dt}} = \underbrace {\frac{{N_1^2}}{{{\Re _{fer}}}}}_{{L_{pure}}}\frac{{d{i_1}}}{{dt}} \) ∇
\({v_2} = - {r_2}{i_2} - {\ell _{f2}}\frac{{d{i_2}}}{{dt}}\underbrace { - {N_2}\frac{{d{\phi _C}}}{{dt}}}_{{{V'}_2}}\) avec \({V'_2} = - {N_2}\frac{{d{\phi _C}}}{{dt}} = - \underbrace {\frac{{N_2^2}}{{{\Re _{fer}}}}}_{{L_{pure}}}\frac{{d{i_2}}}{{dt}}\) ∇
Schémas

On s’aperçoit alors que le rapport de transformation

\( m = - \frac{{{{\underline{V'}}_2}}}{{{{\underline{V'}}_1}}} = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}} \) ∇

Un bilan plus précis des ampères tours donne:

\( {N_1}{i_1} + {N_2}{i_2} = \Re \varphi \) ∇

Si l’on ne néglige pas la force magnétomotrice \( \Re \varphi \) alors on peut identifier cette perte d’ampère tours à un courant magnétisant que l’on trouve d’ailleurs à vide (le courant secondaire étant nul) : \( {N_1}{i_1} + {N_2}{i_2} = {N_1}{i_\mu } \) ∇ soit en complexe \( {N_1}{\underline{I}_1} + {N_2}{\underline{I}_2} = {N_1}{\underline{I}_\mu } \) ∇donc

\( {\underline{I}_1} = - m{\underline{I}_2} + {\underline{I}_\mu } \)∇

Représentation de Fresnel

  • On prend \( V_2 \) comme origine des phases
  • l'angle entre \( V_2 \) et \( I_2 \) est imposé par la charge
  • la tension \( r_2 I_2\) est parallèle à \( I_2 \)
  • la tension\( j \ell_{f2} \omega I_2\) est perpendiculaire à \( I_2 \)
  • la somme des trois tensions précédentes donne \( V'_2 \)
  • le rapport de transformation donne \( V'_1 = V'_2 / m \)
  • de la même manière on trace le courant au primaire \( mI_2 \)
  • La tension \( V'_1 \) est aux bornes
    • de la résistance modélisant les pertes fer parcourue par un courant \( I_{1µA} \) en phase avec \( V'_1 \)
    • de l'inductance magnétisante traduisant l'imperfection du circuit magnétique par un courant \( I_{1µR} \) perpendiculaire à \( V'_1 \)
  • la somme des deux courants donne \( I_{1µ} \) qui s'ajoute à \( mI_2 \) pour donner \( I_1 \)
  • la tension \( r_1 I_1\) est parallèle à \( I_1 \)
  • la tension\( j \ell_{f1} \omega I_1\) est perpendiculaire à \( I_1 \)
  • la somme des deux tensions précédentes et de \( V'_1 \) donne \( V'_2 \)

Le transformateur en charge (4'53") https://youtu.be/4_3EDEDQFOo

Vidéo réalisée sur la base d'une application de l'UJF de Grenoble (M. Oddon) 

 0:00
 1:00 Chute de tension
 1:30 triangle de Kapp
 1:40 tension de court circuit compromis chute de tension/courant de court circuit
 3:00 pertes fer et cuivre
 3:50 cout d'un transfo (à vide VS en charge)
 4:27 Pointe de courant à la mise sous tension

Bilan des puissances