Réponse d’un système du premier ordre en régime harmonique: fonction de transfert isochrone
La fonction de transfert isochrone permet de connaitre la réponse d’un système à un stimulus sinusoïdal.
Comme \( \tau \frac{ds(t)}{dt} + s(t) = k \times e(t) \) .
Si e(t) est de la forme \( e(t) = E\sqrt 2 \sin \omega t \) le système étant linéaire la sortie sera elle aussi sinusoïdale \( s(t) = S\sqrt 2 \sin \omega t \) .
On peut alors avantageusement décrire e(t) par sa forme complexe e , il en sera de même pour s qui prendra la notation s et si l’on dérive s \( \frac{ds(t)}{dt} \to j\omega \times \underline{s} \)
En effet
\( \frac{ds(t)}{dt} = \frac{{d\left( {S\sqrt 2 \sin \omega t} \right)}}{{dt}} = S\sqrt 2 \frac{{d\sin \omega t}}{{dt}} = S\sqrt 2 \times \omega \times \cos \omega t = S\sqrt 2 \times \omega \times \sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right) \)
donc \( \frac{{ds(t)}}{{dt}} = \omega \times S\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right) \)
donc \( \frac{ds(t)}{dt} \to j\omega \times \underline{s} \)
L’équation différentielle \( \tau \frac{{ds(t)}}{{dt}} + s(t) = k \times e(t) \)
devient alors \( \tau j\omega \times \underline{s} + \underline{s} = k \times \underline{e} \)
Sa fonction de transfert :
| \( \underline{H} \left( {j\omega } \right) = \frac{\underline{s}}{\underline{e}} = \frac{k}{1 + j \omega} \) |
apparait donc complexe avec comme variable \( \omega \).
