Introduction

Si l’analyse de l’équation différentielle est facile l’analyse classique sera abordable.

La solution de l’équation différentielle est la somme de

  • la Solution de l’Equation Générale Sans Second Membre (SGESSM) correspondant au régime libre (sans excitation : cette réponse est due à l’énergie emmagasinée dans le système)
  • de la Solution Sarticulière (SP) correspondant au régime forcé (réponse du système à l’excitation)
Remarque
  • Si l’excitation est continue ou en échelon, le régime forcé est continu.
  • Si l’excitation est sinusoïdale, de pulsation ω, le régime forcé est sinusoïdal de même pulsation ω.

Equation différentielles du premier ordre à coefficients constants

Définition, mise en forme

Une équation différentielle est une relation qui peut s’écrire :

  • En mathématique :
    • \( a\frac{{dy}}{{dt}} + by = f(t) \) ou \( a y’ + b y = f(t) \) dans laquelle
    • a est une constante réelle non nulle, b est une constante réelle et
    • y une fonction inconnue (que l’on cherche à déterminer) et
    • f une fonction continue.
  • En physique on notera plutôt:
    • \( a \times \frac{{ds(t)}}{{dt}} + b \times s(t) = e(t) \)
    • avec e(t) la grandeur d’entrée (grandeur d’excitation) d’un système et
    • s(t) sa grandeur de sortie (grandeur observée , que l’on souhaite maitriser)

L’équation : \( a\frac{{dy}}{{dt}} + by = 0 \) est appelée équation sans second membre. On mettra avantageusement l’expression précédente sous la forme :

\( \tau \frac{{dy}}{{dt}} + y = k \times f(t) \)

de façon à faire apparaitre

  • la constante de temps du système \( \tau = \frac{a}{b} \)
  • le gain \( k = \frac{1}{b} \) traduisant la proportionnalité entre une variation de l'entrée et une variation de la sortie lorsque le système atteint un régime établi/stable.

Résolution de l’équation sans second membre

Souvent appelée : SGESSM (Solution Générale de l’Equation Sans Second Membre) sa résolution passe dans le cas d'un premier ordre par le fait de poser \( \tau = \frac{a}{b} \) où \( \tau \) est appelée constante de temps

Résultats classique

\( \tau \frac{{dy}}{{dt}} + y = 0 \)
La solution de l’équation caractéristique : \( r + \frac{1}{\tau } = 0 \)
\( r = - \frac{1}{\tau } \)
La SGESSM est \( y(t) = K{e^{ - \frac{b}{a} \cdot t}} \) où K est une constante réelle arbitraire.
La constante sera trouvée grâce aux conditions initiales

Démonstration

\( \tau \frac{{dy}}{{dt}} + y = 0 \)
\( \frac{{dy}}{y} = - \frac{1}{\tau }dt \)
\( \int {\tau \frac{{dy}}{y}} = \int { - 1 \cdot dt} \)
\( \ln y + {c^{te}} = - \frac{t}{\tau } \) si on pose \( {c^{te}} = - \ln K \)
\( \ln \frac{y}{K} = - \frac{t}{\tau } \Rightarrow {e^{\ln \frac{y}{K}}} = {e^{ - \frac{t}{\tau }}} \)
\( \Rightarrow y = K{e^{ - \frac{t}{\tau }}} \)

Résolution de l’équation avec second membre : SP (Solution Particulière)

Dans les cas les plus courants on recherchera une solution particulière du même type que la fonction f(t) apparaissant au second membre

Solution globale

C’est la somme de la SGESSM + SP
Donc si l’on connaît une solution particulière \( y_0(t) \) de l’équation différentielle alors la solution générale de de l’équation différentielle est : \( y(t) = K{e^{ - \frac{t}{\tau }}} + {y_0}(t) \)

Détermination des constantes

La constante K est déterminée à l’aide d’une condition dite « condition initiale » .
Dans de nombreux cas cette condition représente la valeur de la fonction y à t=0 ( ou y’(0))

Exemples de conditions initiales fréquemment rencontrées :

  • Pour une bobine où le courant ne passait pas \( {i_L}({0^ + }) = 0 \) car la bobine « lisse » le courant.
  • Pour un condensateur où la tension était nulle \( {u_C}({0^ + }) = 0 \) car le condensateur « lisse » la tension.
  • Pour un moteur initialement à l’arrêt \( {\Omega _{MCC}}({0^ + }) = 0 \) car l’inertie du moteur oblige qu’il y ait une accélération progressive.