Définition des grandeurs position, vitesse, accélération
La position d'un point peut être repéré par les coordonnées de ce point dans le repère orthonormé \( \left( {O,\vec i,\vec j,\vec k} \right) \)
La vitesse est la dérivée temporelle de ce vecteur au cours du temps \({\vec v_G} = \frac{{dO\vec M}}{{dt}}\)
L'accélération est la dérivée temporelle du vecteur vitesse au cours du temps \({\vec a_G} = \frac{{d{{\vec v}_G}}}{{dt}}\)
Équation horaire d'un solide accéléré
Lorsqu'on écrit la relation fondamentale de la dynamique, la somme des forces nous indique le sens et l'intensité de l'accélération.
Afin de connaître la vitesse et la position dans cette direction d'accélération, il suffit de procéder à l'intégration de notre accélération:
alors \( v(t)=a \times t + v_0 \) avec \( v_0 \) la vitesse initiale (à l'instant t=0) de ce solide
en intégrant encore la vitesse il vient: \( x(t)=\frac{1}{2} a \times t^2 + v_0 \times t + x_0 \) avec \( x_0 \) la position initiale (à l'instant t=0) de ce solide.
Equation horaire du mouvement d'un projectile
On considère un tir de canon d’une vitesse initiale V et d’un angle \( \alpha \), pour lequel on néglige les frottements de l’air.
La seule force exercée lors du vol du boulet de canon étant le poids , l’application de la relation fondamentale de la dynamique nous donne:
\( \sum {{{\vec F}_{ext}}} = m \cdot \vec a = \vec P \)
On décompose les forces suivant deux axes
- L’un vertical correspondant à la direction de l’accélération et donc du poids
- Et l’autre perpendiculaire donc horizontal
Donc suivant l’axe Ox
- RFD suivant Ox : Pas de force suivant Ox donc
| \( m \cdot {a_x} = 0 \) |
- Détermination de l’accélération suivant Ox : l’accélération est nulle :
| \( {a_x} = 0 \) |
- Détermination de la vitesse suivant Ox : la vitesse suivant x est conservée : \( {v_x} = {C^{te}} \) que l’on trouve grâce à la vitesse de départ (Condition Initiale): \( {v_x}(0) = {v_{x0}} = V\cos \alpha \) donc
| \( {v_x}(t) = {v_{x0}} \) |
- Détermination de la position suivant Ox : la vitesse est la dérivée (variation temporelle) de la position donc \( {v_x}(t) = \frac{{dx(t)}}{{dt}} = {v_{x0}} \) donc l’équation temporelle de position qui quand elle est dérivée donne une constante \( {v_{x0}} \) est \( x(t) = {v_{x0}} \times t + {x_0} \) , \( x_0 \) étant la coordonnée en x de la position de départ
| \( x(t) = {v_{x0}} \times t + {x_0} \) |
Donc suivant l’axe Oy
- RFD suivant Oy : Le poids s’exerce suivant Oy donc
| \( m \cdot {a_y} = - m \cdot g \) |
- Détermination de l’accélération suivant Oy : donc la gravitation impose une accélération verticale vers le bas:
| \( a_y=-g = \frac{{d{v_y}}}{{dt}} \) |
- Détermination de la vitesse suivant Ox : l’accélération étant la dérivée de la vitesse, par intégration on trouve : \( {v_y}(t) = - g \cdot t + {c^{te}} \) donc la vitesse ascensionnelle décroit pour finalement devenir nulle puis s’inverser et ensuite augmenter en direction du sol.
On détermine la constante grâce à la vitesse de départ ( t=0) (Condition Initiale que l’on appellera \( {v_y}(0) = {v_{y0}} = V\sin \alpha \).
| Donc \( {v_y}(t) = - g \cdot t + {v_{y0}} \) |
- Détermination de la position suivant Oy : la vitesse est la dérivée (variation temporelle) de la position donc \( {v_y}(t) = \frac{{dy(t)}}{{dt}} = - g \cdot t + {v_{yo}} \) donc l’équation temporelle de position qui quand elle est dérivée donne notre équation de vitesse est
| \( y(t) = - \frac{1}{2}g \cdot {t^2} + {v_{y0}} \cdot t + {y_0} \) |
Chute d’une pierre
En exploitant le résultat précédent il est facile d’estimer la hauteur de chute verticale d’une pierre que l’on laisse tomber dans un puit.
Dans ce cas on part sans vitesse initiale avec un mouvement exclusivement vertical.
La hauteur de chute est donc \( h(t) = \frac{1}{2}g \cdot {t^2} \) donc si l’on entend le choc d’arrivée de la pierre au bout de 4 s , on peut en déduire que la hauteur de chute est de \( h(4) = \frac{1}{2}9,81 \times {4^2} = 78m \).
Mais ceci est établi sans compter la force de frottement dans l’air qui augmente comme le carré de la vitesse.
| Comparaison de la chute d'une bille de métal et d'une plume dans le vide (4'41") |
| https://youtu.be/NOTQN9o8nQA |
Pour s’entraîner
Source: ECLigne
