Fem théorique dans un enroulement
Si l'expression du flux vu par un enroulement est de la forme \( \phi = {\phi _{\max }}\sin \omega t \)
Alors la fem présente dans \( \frac{N}{2} \) conducteurs est \( e = \frac{N}{2}\frac{{d\phi }}{{dt}} \) donc \( e = \frac{N}{2}{\phi _{\max }}\omega \cos \omega t \)
La valeur efficace de la fem et donc \( E = \frac{N}{2}\frac{{{\phi _{\max }}2\pi .f}}{{\sqrt 2 }} = 2,22 \cdot f \cdot N \cdot {\phi _{\max }} \)
Facteurs correctifs
Divers paramètres correctifs permettent de mesurer cette différence entre théorie et réalités
Facteur de bobinage (ou d’enroulement) :
La fem pratique est légèrement différente de la fem théorique. Elle est multipliée (entre autres) par un facteur \( K_b \) (produit des facteurs d'inclinaison, raccourcissement, et distribution)
\( K_b=K_d K_r K_i < 1 \)
Facteur d’inclinaison \( K_i \)
Les encoches sont inclinées de manière à diminuer les harmoniques de denture.
Facteur de raccourcissement \( K_r \) :
Pour le calcul de la fem théorique ,on a considéré 2 conducteurs situés à \( \pi/p \). Cela n’ est possible que si le nombre d’encoches est un multiple de 2p. Sinon, on place le 2ème conducteur dans l’encoche la plus proche de la position \( \pi/p \), d’où une modification de la fem.
Facteur de distribution \( K_d \)
On a considéré les N /2 conducteurs placés dans une même encoche ; en fait , ils sont placés dans un certain nombre d’encoches voisines (facilité de construction et réductions d’harmoniques).Les fem créées ne sont donc pas en phase.
Facteur de forme Kf :
Le champ magnétique dans l’entrefer n’est pas sinusoïdal. Facteur correctif \( K_f \) . \( K_f >1 \)
Coefficient de Kapp
Le coefficient de Kapp englobe ces divers coefficients:
\( K = 2,22 K_b K_f = 2,22 K_d K_r K_i K_f\)
Ainsi l'expression réaliste de la fem induite par un champ tournant à la vitesse \( \Omega_S \) alimenté à une pulsation \( \omega=p\Omega_S \) et est égale à :
|
\( E = K \cdot f \cdot N \cdot S \cdot {B_{\max }}\) |
|
Valeurs efficaces des fem
L'expression précédente permet d'établir :
- La fem dans les enroulements du stator : \( {E_1} = {K_1} \cdot {N_1} \cdot f \cdot \phi \)
- La fem dans les enroulements du rotor: \( {E_2} = {K_2} \cdot {N_2} \cdot f_R \cdot \phi \)
Relation des fem :
Il doit permettre de décrire le fonctionnement d'un moteur dans sa plage d'utilisation pratique. Ce modèle est établi pour un enroulement d'un moteur à rotor bobiné.
A l’arrêt (g=1) , le moteur asynchrone se comporte comme un transformateur.
Pour un moteur en rotation, le modèle est encore utilisable, à condition de tenir compte du fait que g n’est plus égal à l’unité.
- Les tensions primaires et secondaires n’ont plus la même fréquence.
- Pulsation statorique :\( \omega \)
- Pulsation rotorique : \( \omega_R = g \cdot \omega \).
- \( V_1 \) tension d’alimentation d’un enroulement primaire
- \( K_1 \),\( K_2 \) coefficient de Kapp d’un enroulement primaire et secondaire.
- \( N_1 \), \( N_2 \) nombre de brins de conducteurs de ces enroulements.
- \( n’1 \) et \( n’2 \) les nombres de spires corrigés par les coefficients de Kapp
- \( r_1 \),\( r_2 \) : résistances de ces enroulements.
- \( l_1 \),\( l_2 \) :inductances de fuites de ces enroulements.
Les fem induites dans les enroulements primaire et secondaire ont pour expression :
- \( {E_1} = {K_1} \cdot {N_1} \cdot f \cdot \phi \)
- \( {E_2} = {K_2} \cdot {N_2} \cdot f_R \cdot \phi \) avec \( {f_R} = g \cdot f \)
Comme le flux est identique dans le rotor et le stator:
| \( \frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = g\frac{{{K_1} \cdot {N_1}}}{{{K_2} \cdot {N_2}}} = g\frac{{{{n'}_1}}}{{{{n'}_2}}} = g \cdot m \) |
Où m est l’équivalent d’un rapport de transformation.(rapport de transformation à l’arrêt)
Relation des fmm (forces magnéto motrices)
Pour l’étude des intensités, on peut remplacer le rotor réel par un rotor fictif à l’arrêt parcouru par des courants de pulsation \( \omega \). (\( g=1 \), \( \omega_R=\omega \)).
Le théorème d’ampère permet d’écrire: \( {n_1}{I_1}{\rm{ }} + {n_2}{I_2} = {n_1}{I_{10}} = \Re \varphi \) ou \( {I_1} + m{I_2} = {I_{10}} \).
Donc \( {I_u} = {I_1} - {I_{10}} = m{I_2} \)
Soit \( {I_u} = m{I_2} \)
On retrouve la même relation pour les intensités que pour un transformateur. L’écriture du théorème d’Ampère n’est pas impactée par la fréquence des courants considérés. On n’a pas le même rapport de transformation pour les tensions (gm) et pour les courants (m). V.4) Modèle équivalent :
