Les filtres

Les filtres sont des quadripôles qui, sur un signal ne vont laisser passer que certaines fréquences.

Le filtre passe-haut, laisse passer les hautes fréquences au-delà d'une certaine fréquence \( f_0 \) et coupe les fréquence en dessous.
Le filtre passe-bas, laisse passer les basses fréquences en dessous d'une certaine fréquence \( f_0 \) et coupe les fréquence au-delà.
Le filtre passe-bande, laisse passer les fréquences comprises entre \( f_1 \) et \( f_2 \).
Le filtre réjecteur de bande, ou coupe bande ne laisse pas laisse passer les fréquences comprises entre \( f_1 \) et \( f_2 \).

Le choix des fréquences se fait en choisissant correctement les éléments qui constituent le filtre.

Un filtre sera caractérisé par la capacité qu'il a à couper brutalement les fréquences qu'il ne doit pas laisser passer: cette capacité dépend de l'ordre du filtre

Filtre du premier ordre

Filtre passe bas

La transmittance d’un passe bas est de la forme

Le module de T est

\( T = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} }} \)

\( T = \left( {1 + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} \right)^{ - \frac{1}{2} } \)

Donc le gain est

\( G = 20 log T = 20 \log \left( {1 + {{\left( {\frac{\omega }{\omega _0}} \right)}^2}} \right)^{-1/2} \)

\( G = - \frac{1}{2}20 \log \left( {1 + {{\left( {\frac{\omega }{\omega _0}} \right)}^2}} \right) = - 10 \log \left( {1 + {{\left( {\frac{\omega }{\omega _0}} \right)}^2}} \right) \)

Et l’argument est \( \arg T = - \arg \left( {1 + j\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)} \right) = - \arctan \left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right) \)

Il suffit d’étudier ce qui se passe pour diverses valeurs particulières

• Si \( \omega \to 0 \) alors
  • \( G = - 10\log \left( {1 + {{\left( {\frac{0}{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} \right) = - 10\log 1 = 0 \)
  • \( \arg T = - \arctan \left( {\frac{0}{{{\omega _0}}}} \right) = 0 \)
• Si \( \omega \to \infty \) alors
  • \( G = - 10\log \left( {1 + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} \right) \approx - 10\log {\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)^2} = - 20\log \left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right) \) ce qui tend vers moins l’infini avec une pente de -20 dB par décade ( -20 dB quand la fréquence est multipliée par 10)
  • \( \arg T = - \arg \left( {1 + j\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)} \right) \approx - \arctan \left( {\frac{\infty }{{{\omega _0}}}} \right) = - 90^\circ \)
• Si \( \omega = \omega_0 \) alors
  • \( G = - 10\log \left( {1 + {{\left( {\frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} \right) = - 10\log 2 = - 3\,\,dB \)
  • \( \arg T = - \arctan \left( {\frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _0}}}} \right) = - 45^\circ \)

D’où le tracé du diagramme de Bode:

Filtre passe haut

Filtre integrateur

Filtre derivateur

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