Puissance Active

En régime sinusoïdal,u et i sont des fonctions sinusoïdales du temps qui peuvent s'écrire

\( v(t)=V \sqrt{2} sin (\omega t + \varphi) \) et \( i(t)=I \sqrt{2} sin (\omega t) \)

Alors la puissance instantanée s'écrit
\( p(t)=v(t) \times i(t) = V \sqrt{2} sin (\omega t + \varphi) \times I \sqrt{2} sin (\omega t)\)

et sachant que \( sin a \cdot sin b = \frac{1}{2}\left[ cos(a-b) - cos (a+b) \right] \)

on en déduit \( p(t)=2VI \frac{1}{2} \left[cos \varphi - cos (2\omega t + \varphi)\right] \)

\( \Rightarrow p(t)=VI cos \varphi - VI cos (2\omega t + \varphi) \)

La puissance instantanée est donc la somme d'une fonction constante dans le temps et d'une fonction périodique du temps. \( (VI cos ( 2 \omega t - \varphi )) \) appelée la puissance fluctuante

Comme la puissance active P est la valeur moyenne de la valeur instantanée:

Soit \( P= <p> =<VI cos\varphi> - <VI cos (2\omega t +\varphi) > \)

Comme \( VI cos\varphi \) est une constante sa valeur moyenne ne change pas.
Comme \( VI cos (2\omega t +\varphi) \) est une sinusoïde sa valeur moyenne est nulle.
Donc \( P= VI cos\varphi \)

Pour un récepteur quelconque, alimenté par une tension quelconque v(t) périodique de période T, et traversé par un courant i(t), la puissance active ou moyenne s’écrit uniquement à partir de la formule : \(P = \left\langle p \right\rangle = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {v(t) \cdot i(t)} \cdot dt\)

Si une tension sinusoïdale alimente un dipôle non linéaire le courant sera déformé et donc fourni en harmoniques.
L'expression mathématique du courant est donc de cette forme:

\( i(t) = {I_1}\sqrt 2 \sin (\omega t - {\varphi _1}) + {I_2}\sqrt 2 \sin (2\omega t - {\varphi _2}) + ... + {I_n}\sqrt 2 \sin (n \omega t - {\varphi _n}) + ... \)

Donc la puissance moyenne est due à l’influence de la valeur moyenne et de chaque harmonique :

\( P = \left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times \left[ {{{\hat I}_1}\sin \left( {\omega t - {\varphi _1}} \right) + {{\hat I}_2}\sin \left( {2\omega t - {\varphi _2}} \right) + {{\hat I}_3}\sin \left( {3\omega t - {\varphi _3}} \right) + ...} \right]} \right\rangle \)

\(P = \underbrace {\left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times {{\hat I}_1}\sin \left( {\omega t - {\varphi _1}} \right)} \right\rangle }_{V{I_1}\cos {\varphi _1}} + \underbrace {\left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times {{\hat I}_2}\sin \left( {2\omega t - {\varphi _2}} \right)} \right\rangle }_0 + \underbrace {\left\langle {\hat V\sin \left( {\omega t} \right) \times {{\hat I}_3}\sin \left( {3\omega t - {\varphi _3}} \right)} \right\rangle }_0 + ... \)

Il s'avère que seul le premier terme n'est pas nul donc. Les autres termes étant le produit d’une sinusoïde par une sinusoïde de fréquence multiple, la résultante donne une fonction alternative donc de valeur moyenne nulle: