Une analogie pour comprendre

La figure ci-dessous permet de faire une analogie expliquant ce que sont les puissances actives (P) réactives (Q) et apparente (S). Le but étant de faire avancer la péniche sur un canal:

• La puissance active (P) est alors la force vraiment utile à l'avancement de la péniche
• La puissance apparente (S) est la force à laquelle tire le cheval sur la berge
• La puissance réactive (Q) est la force ne servant à rien dans le déplacement mais qu'il est malgré tout nécessaire de fournir

Nécessité d'une puissance réactive

La puissance active correspond à une puissance utilisée par un dipôle et qui est convertie en une autre forme d'énergie (en chaleur ou énergie mécanique le plus souvent).

La puissance apparente définit une grandeur $U \times I$ correspondant à un dimensionnement est une prise en compte du courant alimentant un dipôle.

Si on fait le bilan pour les dipôles simples, on s'aperçoit rapidement que :

• pour la résistance la puissance active est égale à la puissance apparente $P=S$
• pour le condensateur la puissance active est nulle$P=0$ mais il existe quand même une puissance apparente. Le condensateur consomme effectivement un courant tel que $I_C=\frac{V}{Z}={C \omega V}$ et le déphasage de V par rapport à I est dans ce cas $\varphi_{V/I}=-\pi/2$, la puissance apparente provient donc exclusivement d'un courant en quadrature avance par rapport à la tension.
• pour la bobine la puissance active est nulle $P=0$ mais il existe quand même une puissance apparente. La bobine consomme effectivement un courant tel que $I_L=\frac{V}{Z}=\frac{V}{L \omega}$ et le déphasage de V par rapport à I est dans ce cas $\varphi_{V/I}=+\pi/2$, la puissance apparente provient donc exclusivement d'un courant en quadrature retard par rapport à la tension.

Il apparait donc judicieux de qualifier cette puissance due aux courants en quadrature avec la tension. L'intuition nous pousse donc à multiplier $sin \varphi$ par $U \times I$ pour qualifier cette nouvelle puissance. Effectivement pour une résistance elle serait nulle et maximale pour une bobine ou un condensateur.

la puissance réactive est donc définie par $Q = VI sin \varphi$

Dans le cas d'un dipôle plus quelconque, le déphasage $\varphi_{V/I}$ prend une valeur comprise entre $-\pi/2$ et $+\pi/2$, on peut donc décomposer le courant en deux grandeurs

• $I_{actif}=I \times cos \varphi$
• $I_{réactif}=I \times sin \varphi$

Il en découle que $I_{actif}^2 + I_{réactif}^2 + = I^2$

Si on multiplie chacune de ces grandeurs par $V^2$ on obtient

$V^2 \times I_{actif}^2 + V^2 \times I_{réactif}^2 = V^2 \times I^2$

Soit

$(VI cos \varphi)^2 + (VI sin \varphi)^2 = (VI)^2$

Où chaque terme est respectivement égal à

$P^2 + Q^2 = S^2$

Nature de la puissance réactive

L'énergie réactive est de l'énergie qui oscille entre le consommateur et le fournisseur d'énergie, ce qui transparait dans la détermination de la puissance active. On l'appelle parfois puissance fluctuante. Elle est proportionnelle à la moyenne de l'énergie stockée dans les champs magnétiques et électriques générés.

Définition

Par définition la puissance réactive notée Q est :

$Q = VI sin \varphi$

• Q puissance réactive exprimée en VAr ( Volt Ampère réactifs).
• V tension du dipôle en Volts
• I courant traversant le dipôle en Ampères

Remarque: Avec la convention récepteur :

• $Q<0 \Rightarrow sin \varphi<0 \Rightarrow \varphi \in [-\pi/2;0]$ cas des dipôles capacitifs
• $Q>0 \Rightarrow sin \varphi>0 \Rightarrow \varphi \in [0;+\pi/2]$ cas des dipôles inductifs

Dipôles élémentaires

Pour une résistance parfaite

Nous savons que $\underline{Z}_R = [ R ; 0 ]$ soit

• $\frac{V}{I} = R$ et
• $\varphi_{v/i}= 0$ donc $cos \varphi_{v/i}= 1$ et $sin \varphi_{v/i}= 0$

On en déduit que

$P_R= V \times I = \frac{V^2}{R} = R I^2$

$Q_R= 0$

Un résistor parfait n'absorbe ou consomme que de la puissance active.

Pour un condensateur parfait

Nous savons que $\underline{Z}_C = \left[ \frac{1}{C\omega} ; -\frac{\pi}{2} \right]$ soit

• $\frac{V}{I} = \frac{1}{C\omega}$ et
• $\varphi_{v/i}= -\frac{\pi}{2}$ donc $cos \varphi_{v/i}= 0$ et $sin \varphi_{v/i}= -1$

On en déduit que

$P_C= 0$

$Q_C= -VI = -C \omega U^2 = -\frac{I^2}{C \omega}$

Un condensateur parfait n'absorbe pas de puissance active mais fournit de la puissance réactive

Pour une bobine parfaite

Nous savons que $\underline{Z}_L = \left[ L \omega ; +\frac{\pi}{2} \right]$ soit

• $\frac{V}{I} = L\omega$ et
• $\varphi_{v/i}= +\frac{\pi}{2}$ donc $cos \varphi_{v/i}= 0$ et $sin \varphi_{v/i}= +1$

On en déduit que

$P_L= 0$

$Q_L= +VI = L \omega I^2 = +\frac{V^2}{L \omega}$

Une bobine parfaite n'absorbe pas de puissance active mais absorbe de la puissance réactive

Récapitulatif

Dipôle	Résistance	Bobine	Condensateur
Schéma
Loi d'Ohm généralisée	$u_R = R \times i$	$u_L = L \times \frac{{di}} {{dt}}$	$i = C \times \frac{{du_C}} {{dt}}$
Association série	$R_{eq} = \sum\limits_{i = 1}^n {R_i }$	$L_{eq} = \sum\limits_{i = 1}^n {L_i }$	$\frac{1}{{C_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{C_i }}}$
Association parallèle	$\frac{1}{{R_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{R_i }}}$	$\frac{1}{{L_{eq} }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{L_i }}}$	$C_{eq} = \sum_{i = 1}^n {C_i }$
Impédance en sinusoïdal	$\underline{Z}=R=\left[{R;0}\right]$	$\underline{Z}_L = jL\omega = \left[ {L\omega ;\frac{\pi }{2}} \right]$	$\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = \left[ {\frac{{1}} {{jC\omega}} ; -\frac{\pi }{2}} \right]$
Puissance active $P$ en sinusoïdal	$P = R \times I^2 = \frac{U^2}{R}$	$P = 0$	$P = 0$
Puissance réactive $Q$ en sinusoïdal	$Q = 0$	$Q = L \omega \times I^2 = \frac{U^2}{L \omega}$	$Q = C \omega \times U^2 = \frac{I^2}{C \omega}$
Modèle plus réaliste

Puissance réactive en triphasé

En triphasé, Boucherot nous dit que les puissances consommées sur chaque phase s'additionnent donc

$Q = 3 V I sin \varphi= \sqrt{3} U I sin \varphi$

Puissance réactive en régime périodique non-sinusoïdal

Si l’une des grandeurs (tension ou intensité) est sinusoïdale alors la puissance réactive n’est due qu’à la fréquence fondamentale (à la fréquence f) du courant ou de la tension:

$Q = V{I_1}\sin \varphi_1$

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